a) Да
b) Нет
d) \(b_1=-5,\;\;d=0.5\)
e) \(14\)
1. Дана возрастающая арифметическая прогрессия А: \(a_1, a_2,.. - \)члены прогресси, \(d-\) разность прогресии, \(S_n-\) сумма первых \(n\) членов прогресси для любого натурального \(n\). Дана последовательность В с членами \(b_1, b_2,..\), которые задаются равенством \(b_n = S_{n+1}-S_n\) для любого натурального \(n.\)
a) Является ли последовательность В арифметической прогрессией?
b) Тождественны ли последовательности А и В?
c) Докажите, что сумма первых \(n\) членов последовательности В равна \(\frac{(b_1-b_2)(b_1+b_2) + (b_3-b_4)(b_3+b_4)+...+ (b_{n-1}-b_n)(b_{n-1}+b_n)}{-d}\)
d) Дано: сумма 5 первых членов последовательности В равна \((-20),\) \(b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+...-d_{40}^2 = -95\). Вычислите \(b_1\) и \(d.\)
e) Какое минимальное число членов прогрессии А, находящихся на нечетных местах, начиная с первого члена, надо сложить, чтобы полученная сумма была целым положительным числом?
2. Дана бесконечная геометрическая прогрессия А с членами \(a_1, a_2,...\:\) и знаменателем \(\:9\cdot{r^2},\:\) где \(\: 0 < r < 1/3 .\) Из прогресси А получили новую геометрическую прогрессию В, поместив между каждыми двумя соседними членами прогрессии А дополнительный член. Члены прогрессии В: \(\:b_1, b_2,...\:,\) а знаменатель \(q.\)
a) Найдите \(q,\) используя \(r.\)
b) Докажите, что обе прогрессии сходятся.
c) Сумма прогрессии В в \(4/3\) раза больше суммы прогресии А. Найдите \(q.\)
d) Сумма всех членов прогрессии В, стоящих на четных местах, равна \(12.\) Найдите сумму всех членов прогрессии В, расположенных на местах, номера котрых кратны \(5.\)
e) Найдите отношение \(\frac{b_5}{b_6 + b_7 + b_8 +...}\)
f) Докажите, что в любой сходящейся геометрической прогресси отношение члена прогрессии к сумме всех стоящих за ним членов прогрессии не зависит от номера данного члена.
a) \(q=3r\)
c) \(q=1/3\)
d) \(48/121\)
e) \(2\)
f) Отношение равно \(1/q-1\)
3. Дана бесконечная геометрическая прогрессия А с членами \(a_1, a_2,...\:\) и знаменателем \(q.\)
a) Докажите, что для любого натурального \(n\) выполняется равенство \(a_1\cdot a_{2n} = a_n\cdot a_{n+1}\)
b) Дано, что \(a_k\cdot a_{k+1} = 10935\cdot a_1\) и \(a_{2k-2}=1215.\) Найдите \(q.\)
c) Если \(a_1=5\), является ли прогрессия А возрастающей? Найдите \(k.\)
d) Дана последовательность В такая, что \(b_n = \frac{1}{a_n}, a_1=5.\) Докажите, что последовательность В является геометрической прогрессией.
e) В прогресси В заменили знак каждого члена, стоящего на нечетном месте, на противоположный и получили последовательность С: \(c_n= (-1)^{n}b_n.\:\) Найдите сумму последовательности С.
b) \(q=\pm 3\)
c) Да, \(k=4\)
d) \(b_1=1/5,\;\:q_b=1/3\)
e) \(-3/20\)
4. Даны бесконечная геометрическая прогрессия А с членами \(a_1, a_2,...\:\) и знаменателем \(q: \: 0 < a_1, \: 0 < q < 1\) и возрастающая бесконечная геометрическая прогрессия В с членами \(b_1, b_2,...\:\) и знаменателем \(r.\) Известно, что \(b_1=a_6. \:\) Последовательность С определена следующим образом: \(c_n=\frac {a_{n+5}}{b_n}\)
a) Докажите, что все члены последовательностей А, В и С больше нуля.
b) Докажите, что последовательность С является геометрической прогрессией, и найдите \(c_1.\)
c) Докажите, что последовательность С убывающая.
d) Найдите \(q\) и \(r,\) если известно, что сумма прогрессии С равна \(\:6/5\:\) и \(\:\frac{b_2}{a_8} = 18.\)
b) \(c_1=1\)
d) \(q=1/3,\:\:r=2\)
5. Дана арифметическая прогрессия А с членами \(a_1, a_2,...\:\) Известно, что \(a_k = p, a_p = k, \: k < p.\)
a) Найдите разность прогрессии А.
b) Выразите \(a_1\) через \(k\) и \(p.\)
c) Дана последовательность С с общим членом \(c_n = a_n - n.\:\) Известно, что сумма первых 6 членов последовательности С равна \(0.\) Найдите \(a_1.\)
d) Чему могут быть равны \(k\) и \(p\)?
e) Вычислите сумму \((c_1-c_2)^2 + (c_3-c_4)^2 + ...+ (c_{99}-c_{100})^2\)
a) \(d=-1\)
b) \(a_1=p+k-1\)
c) \(a_1=6\)
d) \((p=6,k=1), \:(p=5,k=2),\:(p=4,k=3)\)
e) \(-9400\)
6. Даны две бесконечные сходящиеся геометрические прогрессии, с членами отличными от нуля. Прогрессия А с общим членом \(a_n\) и знаменателем \(q_a\) и прогрессия В с общим членом \(b_n\) и знаменателем \(q_b\). Используя члены прогрессий А и В, построили новую бесконечную последовательность С с общим членом \(c_n = a_n/b_n\).
a) Докажите, что новая последовательность является геометрической прогрессией и выразите ее знаменатель через \(q_b\) и \(q_a\).
b) Известно, что прогрессия А не возрастает и не убывает, а прогрессия В возрастает. Отрицательны или положительны члены новой последовательности C и члены прогрессии В?
c) Даны три последовательных члена арифметической прогрессии: \(d_1, d_2, d_3\). Известно, что \(d_2=-d_1\) и \(\frac{d_1\cdot d_2}{d_3} = -1/24.\) Найдите \(d_1\).
d) Известно, что \(q_a=d_1\), и известно, что выполняется равенство \(c_1+c_2+c_3+...= \frac {a_1+a_2+a_3+...}{b_1+b_2+b_3+...}\:\:\) Найдите знаменатель прогрессии В.
a) \(q_c=q_a/q_b\)
b) Все члены прогрессии В отрицательны, а четные и нечетные члены прогрессии С отличаются по знаку.
c) \(d_1=-1/8\)
d) \(q_b=1/4\)
7. Даны бесконечная геометрическая прогрессия А с общим членом \(a_n=a_1 \cdot q^{n-1}\) и знаменателем \(q\:\) и последовательность В с общим членом \(b_n=a_n\cdot q ^ {n-1}\:\).
a) Докажите, что последовательность В является геометрической прогрессией и найдите ее знаменатель.
b) Верны ли следующие утверждения:
1) Если последовательность А сходится, то и последовательность В сходится тоже
2) Если последовательность А убывает, то она сходится
c) Известно, что последовательности А и В сходятся, и отношение суммы всех членов последовательности В к сумме всех членов последовательности А равно \(3/5\). Найдите \(q\).
d) Дано: \(b_1/a_1 +b_2/a_2+...+b_n/a_n=2059/729\) и знаменатель прогрессии А равен \(q=2/3\). Найдите \(n\).
a) \(q_b=q^2\)
b) 1) да 2) нет
c) \(q=2/3\)
d) \(n=7\)
8. В арифметической прогрессии А \(2n\) членов (\(n\) - натуральное число), \(d\) - разность прогрессии \((d \neq0)\). Члены последовательности В определены следующим образом: \(b_t=(a_t+a_{t+1})/2.\) В последовательности В \(2n-1\) членов.
a) Докажите, что последовательность В является арифметической прогрессией, и выразите ее разность через \(d.\)
Обозначим сумму членов прогрессии А через \(S_A\), а последовательности В через \(S_B.\)
b) Докажите, что \(S_A/2n=S_B/(2n-1).\)
Дано, что \(S_A=220+S_B,\:\:S_A=(66/65)\cdot S_B.\)
c) Найдите \(n\).
d) Найдите сумму двух центральных членов прогрессии А.
a) \(d,\)
c) \(n=33,\)
d) \(440.\)
9. В арифметической прогрессии \(a_1, a_2, ..a_{3n} \:\: 3n\) членов (\(n\) - натуральное число), \(d\) - разность прогрессии.
a) Обозначим \(S^*_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...a_{2n}.\) Докажите, что \(S^*_n = S_{3n}/3.\)
Дано, что \(a_1 > 0, \:\:S^*_n=0.\)
b) Определите знак разности \(d.\)
Дано: \(a_1=19\cdot |d|\)
c) Найдите число членов данной прогрессии.
Известно, что последовательность \(a_2, a_5,..a_{3n-4}\) также является арифметической прогрессией, сумма членов которой равна \(36.\)
d) Найдите \(d.\)
b) \(d < 0,\)
c) \(39,\)
d) \(-2.\)
10. Даны две бесконечные сходящиеся геометрические прогрессии, А и В, члены которых отличны от нуля. У прогрессии А общий член \(a_n\) и знаменатель \(q_a.\) У прогрессии B общий член \(b_n\) и знаменатель \(q_b.\) Из членов прогрессий А и В строят новую бесконечную сходящуюся геометрическую прогрессию с общим членом равным \(a_n/b_n.\)
a) Выразите знаменатель новой прогрессии через \(q_a,\:\: q_b.\)
Известно, что прогрессия А не убывающая и не возрастающая, а прогрессия В возрастающая.
b) Определите знаки членов прогрессии В и знак знаменателя новой прогрессии.
Числа \(c_1, c_2, c_3\) образуют арифметическую прогрессию. Дано, что \(c_1=-c_2\) и \(c_1\cdot c_2/c_3=-1/45.\)
c) Найдите \(c_1.\)
Знаменатель прогрессии А равен \(c_1.\) Известно, что выполняется равенство \( a_1/b_1+ a_2/b_2 +...=(a_1+a_2+...)/(b_1+b_2+...).\)
d) Найдите значение \(q_b.\)
a) \(q_a/q_b,\)
b) \(b_n < 0,\:\:q_a/q_b < 0.\)
c) \(-1/15,\)
d) \(q_b=1/5.\)
‹ ›