1. Парабола и эллипс с общим фокусом в точке \((k,0)\) заданы каноническими уравнениями (центр эллипса и вершина параболы лежат в начале координат), где \(k\) - параметр,
\(k > 0\). Большая ось эллипса равна \(4k\). Директриса параболы пересекает эллипс в точках \(B\) и \(C\)
(\(B\) выше \(C\) на координатной плоскости).
Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно оси \(x\), пересекает параболу в точках \(A\) и \(D\) (\(A\) выше \(D\)
на координатной плоскости).
a) Найдите уравнения параболы и эллипса.
b) Найдите координаты точек \(B\) и \(C\).
c) Найдите координаты точек \(A\) и \(D\).
d) Докажите, что \(A, B, C, D\) лежат на одной окружности.
e) Найдите координаты центра этой окружности.
f) Во сколько раз площадь треугольника \(ABC\) меньше площади трапеции \(ABCD?\)
\(a)\: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 -\) каноническое уравнение эллипса с фокусом \(\:c,\:c^2+b^2=a^2,\:\) по условию \( a=2k, c=k \:=> b=\sqrt3k\: => \frac{x^2}{4k^2}+\frac{y^2}{3k^2}=1.\)
\(y^2=2px - \) уравнение параболы с фокусом \(\:c=p/2,\;\) по условию \( c=k\:=>\:p=2k\:=>y^2=4kx.\)
Ответ: \(\frac{x^2}{4k^2}+\frac{y^2}{3k^2}=1,\: y^2=4kx,\: A(k,2k),\:B(-k,\frac{3}{2}k),\:C(-k,-\frac{3}{2}k),\:D(k,2k), \:(\frac{7}{16}k,0) -\) координаты центра окружности, \(S_{ABCD}/S_{ABC}=7/3\).
2. Две окружности касаются внешним образом. Уравнение первой окружности с центром в точке \(M\): \((x-a)^2 + y^2 = r^2 \), где \(a\) - положительный параметр. Уравнение второй окружности с центром в точке \(N\): \((x-13)^2 + y^2 = R^2\). Длина отрезка \(MN\) равна 9 и \(R = 2r\).
a) Найдите уравнение второй окружности и два возможных уравнения для первой окружности.
b) Начертите схематический график этих окружностей и всех общих касательных к ним, при условии, что \(a\) меньше \(13\).
c) Найдите уравнение касательной, проходящей через точку касания этих окружностей.
d) Найдите уравнения двух других общих касательных.
e) Являются ли прямые, найденные в пункте d), касательными к окружностям \((x-t)^2 + y^2 = r^2\) и \((x-k)^2 + y^2 = R^2\), где \(t, k\) - параметры? Если да, тогда найдите \(t\) и \(k\).
f) Найдите площадь треугольника \(MNT,\:T\:\) - точка пересечения двух общих касательных в I четверти.
\(a)\:(x-13)^2 + y^2 = 6^2\)- уравнение второй окружности, \((x-4)^2 + y^2 = 3^2\) или \((x-22)^2 + y^2 = 3^2\) - уравнения первой окружности.
\(с)\:x=7\) - касательная, проходящая через точку касания окружностей.
a) Найдите уравнение геометрического места точек центров окружностей с общей хордой \(AB\).
b) Дана окружность с хордой \(AB\), эта окружность пересекает ось \(OX\) в фокусах эллипса, заданного каноническим уравнением (центр эллипса лежит в начале координат). Найдите координаты центра окружности и ее радиус.
c) Найдите уравнение этого эллипса, если длина большой оси эллипса равна диаметру этой окружности.
d) Прямая, проходящая через левый фокус этого эллипса перпендикулярно оси \(OX\) пересекает эллипс в точках \(Q\) и \(T\), а окружность в точках \(K\) и \(L\). Точка \(F\) - правый фокус этого эллипса. Во сколько раз площадь треугольника \(\triangle KLF\) больше площади \(\triangle TQF\)?
\(a)\: AB: y=-x-2.\) Центры окружностей с общей хордой \(AB\) находятся на серединном перпендикуляре к данной хорде \(y=x+3,\: C(-5/2,1/2).\)
\(b)\: D(0,3)\) - центр окружности, радиус окружности \(AD,\:|AD| = 5,\:F(4,0),\:L(-4,0)\:\) - точки пересечения окружности с осью \(x,\:x^2+(y-3)^2=5^2\:\) - уравнение окружности.
\(c)\:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 -\) уравнение эллипса с фокусом \(c,\:c^2+b^2=a^2,\:\) по условию \(a=5,\: c=4\:=>b=3\:=>\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\:\) - уравнение эллипса.
4. Дана трапеция \(ABCD\) с высотой равной \(\sqrt{2}\), средняя линия которой расположена на прямой \(x + y - 4 = 0\).
a) Найдите уравнения прямых, на которых лежат основания трапеции.
b) Вершины трапеции \(B\) и \(C\) расположены на оси \(x\), а вершины \(A\) и \(D\) на директрисе параболы \(y^2 = 2px (p>0)\) с фокусом в \(B\) или в \(C\). Найдите уравнения этих двух парабол.
c) Для какой из этих двух парабол площадь трапеции \(ABCD\) является наибольшей?
d) Прямая, параллельная оси \(x\) пересекает эти две параболы в точках \(E\) и \(T\). Найдите уравнение геометрического места точек центров отрезков \(ET\).
\(a)\:y=-x+5\) и \(y=-x+3\) - на этих прямых лежат основания трапеции.
\(b)\:y^2=12x\:(p=6)\) - первая парабола с фокусом в \(B(3,0)\), \(y^2=20x\:(p=10)\) - вторая парабола с фокусом в \(C(5,0).\)
\(d)\:E(y^2/20,y),\:T(y^2/12,y)\:=>\) координаты середины отрезка \(ET\) точки \(G(y^2/15,y)\:=> y^2=15x\:\) - уравнение геометрического места точек центров отрезков \(ET\).
5. Дан эллипс \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 , (a>b>0)\). \(F_1\) и \(F_2\) -левый и правый фокусы этого эллипса, точка \(A\) лежит на эллипсе в первой четверти координатной плоскости. Длина большой оси равна \(13\), периметр треугольника \(\triangle F_1AF_2\) равен \(25\), а его площадь равна \(12\).
a) Найдите уравнение этого эллипса.
b) Найдите координаты точки \(A\).
c) Парабола \(y^2 = 2px, (p>0\) и \(p\) не целое число\()\) проходит через точку \(A\). В точке \(A\) построили касательную к параболе, которая пересекает ось \(x\) в точке \(L\). Найдите координаты точки \(L\).
d) \(B\) - это вторая точка пересечения параболы и эллипса. Точка \(D\) лежит на прямой \(AB\). Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников \(\triangle ALD\).
6. Дан парабола \(y^2=4x-4\) и точка \(K(2,0)\) - центр окружности с радиусом \(r=5.\) Парабола и окружность пересекаются в точках \(A\) и \(B.\)
a) Напишите уравнение окружности и найдите координаты точек \(A\) и \(B.\)
b) Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе в точках \(A\) и \(B.\)
c) Найдите координаты точки пересечения нормалей из пункта b) - точки C.
d) Под каким углом пересекаются касательные к окружности и к параболе, проведенные в точке \(A?\)
e) Найдите уравнение параболы, ось которой противоположна оси параболы \(y^2=4x-4\), а фокусы этих парабол совпадают.
f) Найдите координаты точек пересечения этих парабол. Точки \(D\) и \(G.\)
g) Найдите углы, под которыми пересекаются эти параболы (углы между касательными).
h) Найдите площадь пятиугольника \(ACBDG.\)
a) \((x-2)^2+y^2=25,\:A(5,-4),\:B(5,4),\:\) b) касательные:\(A:\:\frac{x-5}{-2}=\frac{y+4}{1},\:\:B:\:\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1},\:\) нормали: \(A:\:y=2x-14,\:B:\:y=-2x+14,\:\) c) \(C(7,0),\:\) d) \(tg\alpha=2,\:\) e) \(y^2=2\cdot2(3-x),\:\) f) \( D(2,2),\:G(2,-2),\:\) g) \(90^0,\:\) h) \(S_{ACBDG}=26.\)
7. Дан парабола \(y^2=4x\) и точка \(A\) на параболе \(A(1/4,1).\) Хорда \(AB\) проходит через фокус параболы \(F.\)
a) Найдите уравнение прямой \(AB\) и координаты точки \(B.\)
b) Через точки \(A\) и \(B\) провели касательные к параболе, которые пересекаются в точке \(K.\) Докажите, что прямая \(AK\) перпендикулярна прямой \(BK.\)
c) Найдите координаты точки \(K\) и покажите, что эта точка лежит на директрисе параболы.
d) Прямая \(AK\) пересекает ось \(OY\) в точке \(C,\) а прямая \(BK\) пересекает ось \(OY\) в точке \(D.\) Докажите, что площадь треугольника \(AOB\) в 2 раза больше площади треугольника \(KDC.\)
e) Докажите, что вокруг четырехугольника \(KCFD\) можно описать окружность.
f) Найдите координаты центра окружности описанной вокруг четырехугольника \(KCFD.\)
g) Докажите, что сумма \(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}\) является величиной постоянной для хорды \(AB,\) проходящей через фокус параболы, и не зависит от координат точки \(A.\) Чему равна эта сумма?
a) \(y=(-4/3)x+(4/3),\:B(4,-4),\:\)b) \((AK): \:y=2x+1/2,\:(BK):\: y=(-1/2)x-2,\:\) c) \(K(-1,-3/2),\:\) директриса \(y=-1,\:\) d) \(S_{ABO}=5/2,\:S_{KDC}=5/4,\:\) e) \(C(0,1/2),\:D(0,-2),\:\angle{CFD}=90^0,\:\) f) \((0,-3/4),\:\) g) \(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=2/p=1.\)
8. Дан эллипс \(\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\) с фокусами в точках \(F_1\) и \(F_2\) и точка\(M(x_0,y_0).\)
a) Докажите, что сумма \(|F_1M|+|F_2M|=10\) и не зависит от координат точки \(M.\)
b) Найдите уравнение касательной к эллипсу, прведенной через точку \(M.\)
c) Провели две вертикальные касательные к эллипсу, которые пересекает в точках \(A\) и \(B\) касательная, проведенная через точку \(M.\) Покажите, что произведение длин отрезков \(|A_1A|\cdot|B_1B|\) не зависит от координат точки \(M.\) Найдите чему равно это произведение.
d) Чему равен угол \(\angle{AF_2B}?\)
e) Найдите уравнение нормали к касательной, проведенной через точку \(M.\) Эта нормаль пересекает ось \(OY\) в точке \(Q.\) Обозначим проекцию центра эллипса на нормаль через \(P.\) Чему равно произведенеи \(|MP|\cdot |MQ|?\)
f) Окружность с радиусом \(r=1\) и центром в точке \(C,\) лежащей на оси \(OX,\) касается элипса в двух точках. Чему равна длина отрезка \(OC?\)
b) \(\frac{yy_0}{9}+\frac{xx_0}{25}=1,\:\) c) \(|A_1A|\cdot|B_1B|=9,\:\) d) \(\angle{AF_2B}=90^0,\:\) e) \(|MP|\cdot |MQ|=25,\:\) f) \(|OC|=8\sqrt2/3.\)
9. Дан эллипс \(2y^2+x^2-4y-4x-26=0.\)
a) Найдите координаты центра эллипса, длину большой и малой полуосей и сделайте рисунок.
b) Найдите координаты левого \(F_1\) и правого \(F_2\) фокусов эллипса.
c) Дана парабола, ее вершина совпадает с левым фокусом эллипса, а фокус параболы находится в точке \(G(-1,1).\) Найдите уравнение параболы.
d) Найдите координаты точек пересечения \(C\) и \(D\) параболы и эллипса.
e) Найдите уравнения касательных к параболе, проведенных через точки \(C\) и \(D.\)
f) Под каким углом пересекаются парабола и эллипс (угол между касательными)?
g) Найдите координаты точки \(K\)- точки пересечения касательных к параболе, проведенных через точки \(C\) и \(D.\)
h) Через точки \(C,D\) и \(K\) проведена окружность, которая пересекает большую ось эллипса в точке \(K.\) Найдите координаты второй точки пересечения этой окружности с большой осью эллипса.
a) координаты центра эллипса \((2,1),\:4\sqrt2\) - длина большой полуоси, \(4\) - длина малой полуоси, b) \(F_1(-2,1),\:F_2(6,1),\:\) c) \((y-1)^2=4(x+2)),\:\) d) \(C(2,5),\:D(2,-3)\:\) e) \(y=x/2+4,\:y=-x/2-2\:\) f) \(tg\alpha=1/2,\) g) \(K(-6,1),\:\) h) \((4,1).\)
10. Даны эллипс \(\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{(\sqrt2b)^2}=1\) и гипербола \(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{b^2}=1\) с общими фокусами, где \(b-\) неизвестный параметр.
a) Найдите координаты левого \(F_1,\) правого \(F_2\) фокусов и значение параметра \(b,\) сделайте рисунок.
b) Найдите координаты точки пересечения эллипса и гиперболы в первой четверти координатной плоскости.
c) Покажите, что касательные к эллипсу и гиперболе, проведенные в точке пересечения эллипса и гиперболы, пересекаются под прямым углом.
d) На гиперболе взяли точку \(M_0(x_0,y_0).\) Покажите, что произведение расстояний от этой точки до асимптот гиперболы не зависит от координат точки. Найдите значение этого произведения.
e) Через точку \(M_0(x_0,y_0)\) провели касательную к гиперболе. В каком отношении точка \(M_0\) делит отрезок касательной, заключенный между асимптотами?
f) Найдите уравнение геометрического места точек средин отрезков, соединяющих точку начала координат с точками на гиперболе.
a) \(F_1(-3,0),\:F_2(3,0),\:b=2\sqrt2,\:\) b) \((5/3,(8\sqrt2)/3),\:\) d) \(8/9,\:\) e) \(1:1,\:\) f) это гипербола с вершинами в точках с координатами (\(-1/2,0),\:(1/2,0)\) и фокусами в точках с координатами \((-3/2,0),\:(3/2,0),\:\ \frac{x^2}{0.5^2}-\frac{y^2}{2}=1.\)
11. Даны эллипс \(\frac{(x-4)^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\) с фокусами в точках \(A\) и \(A_1\) и парабола \(y^2-10y+25+2k=kx\), проходящая через фокус эллипса, где \(k-\) неизвестный параметр.
a) Найдите координаты фокусов эллипса и вершины параболы, точки \(T\), сделайте рисунок.
b) Найдите два возможных значения параметра \(k.\)
c) Найдите координаты фокусов парабол для найденных значений параметра \(k.\)
d) В фокусах эллипса провели касательные к параболам, проходящим через эти фокусы эллипса. Найдите уравнения касательных и координаты точки \(K\) - точки их пересечения.
e) В каком отношении прямая \(y+x=4\) делит площадь эллипса и площадь треугольника \(\triangle AA_1K?\)
f) Напишите уравнение геометрического места точек - середин отрезков, отсекаемых параболами на прямых \(y=p,\) где \(p-\) параметр.
a) \(A(4,3),\:A_1(4,-3),\:T(2,5),\:\) b) \(k_1=2,\:k_2=32,\:\) c) \(F_1(2.5,5),\:F_2(10,5),\:\) d) \(y=-0.5x+5,\:y=-2x+5,\:K(0,5),\:\) e) \(1:1\)- для эллипса, \(3:5\) - для треугольника, f) \((y-5)^2=2\cdot\frac{32}{17}(x-2).\)
12. Даны парабола А: \(y^2=8(x-4)\) и парабола В: \(x^2=8(y-4).\)
a) Найдите уравнение общей касательной к параболам.
b) Найдите уравнения касательных к параболам, проходящих через точку \(O\) начала координат и лежащих в первой и третьей четвертях координатной плоскости.
c) Касательные, найденные в пункте b), проходят через точку \(D\) на параболе А и через точку \(T\) на параболе В. Найдите площадь треугольника \(ODT\)
d) Найдите уравнение геометрического места точек - центров окружностей, касающихся одновременно парабол А и В.
e) Найдите координаты центра окружности, которая касается парабол А и В в точках \(D\) и \(T.\) Найдите уравнение данной окружности.
f) Через точку \(D\) провели прямую, перпендикулярную оси \(X.\) Найдите площадь фигуры, заключенной между параболой А и этой прямой.
g) Эллипс, заданный каноническим уравнением, касатся параболы В. Фокус эллипса и фокус параболы А совпадают. Найдите уравнение эллипса.
a) \(y=-x+2,\:\) b) \(y=x/\sqrt2,\:y=\sqrt2x,\:\) c) \(D(8,4\sqrt2),\:T(4\sqrt2,8),\:S_{ODT}=16,\:\) d) \(y=x,\:\) e) \((24-12\sqrt2,24-12\sqrt2),\:(x-24+12\sqrt2)^2+(y-24+12\sqrt2)^2=(16-12\sqrt2)^2+(24-16\sqrt2)^2,\:\) f) \(S=64\sqrt2/3,\:\) g) \(x^2/52+y^2/16=1.\)
13. Дан эллипс \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\).
a) Напишите уравнения касательных, проведенных к эллипсу из точки \(A(-5;1,5).\)
b) Напишите уравнения касательных, параллельных к прямой \(4x+5y+17=0.\)
c) Напишите уравнения касательных, расстояние от которых до центра эллипса равно \(4\).
d) Найдите уравнения сторон квадрата, описанного около данного эллипса.
e) Напишите уравнения касательных, отношение расстояний от которых до фокусов эллипса равно \(9\).
a) \(x=-5,\:20y-9x=75,\:\) b) \(4x+5y=\pm 25,\:\) c) \(\pm \sqrt{7}x\pm3y=16,\:\) d) \(\pm y\pm x=\sqrt{34},\:\) e) \(x=\pm 5.\)
14. Даны эллипс \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}=1,\:\: b\) - положительный параметр, фокусы эллипса лежат на оси \(x.\) Обозначим через \(D_1\) и \(D_2\) - точки пересечения эллипса с осью \(y,\:\:F_2\) - правый фокус эллипса и \(F_1\)- левый фокус.
a) Найдите значение параметра \(b\) , если известно,\(F_1D_1F_2D_2\) -квадрат. Вычислите площадь квадрата \(F_1D_1F_2D_2.\)
Построили отрезок \(F_1M\), пересекающий эллипс в точке \(E\) , такой что \(F_2E=EM\) (см. рисунок). Дано, что \(b^2=4.5\)
b) Докажите, что геометрическое место точек \(M\) является окружностью, напишите уравнение этой окружности.
c) Перенесли полученную окружность вправо на \(3/\sqrt 2\) единицы и координату \(y\) точек новой окружности умножили на \(2/3.\) Найдите уравнение полученной кривой.
d) Найдите наибольшую площадь треугольника, вершины которого лежат на новой кривой, при условии, что две из них являются точками пересечения кривой с осью \(x\).
a) \(3/\sqrt2,\:S=9,\:\) b) \((x+3/\sqrt2)^2+y^2=36,\:\) c) \(x^2/36+y^2/16=1,\:\) d) \(24.\)
15. Даны эллипс \(\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{169-4k^2}=1,\:\:0 < k < 6.5, \:\:F_1\) - правый фокус эллипса и \(F_2\)- левый фокус.
a) Выразите координаты фокусов эллипса через \(k.\)
b) Точка \(A\) находится в первой четверти координатной плоскости на параболе, заданной каноническим уравнением с фокусом в точке \(F_1\). Известно, что \(AF_1=10k\). Напишите уравнение директрисы параболы и найдите координаты точки \(A\), используя параметр \(k.\)
c) Дано: \(AF_1\) - диаметр окружности, прямая \(5x+12y=138\) является касательной к этой окружности. Найдите значение \(k.\)
d) Точка \(D\) лежит на эллипсе. Сравните периметры треугольников \(F_2AF_1\) и \(F_2DF_1\)
a) \((-2k,0),\:(2k,0),\:\) b) \(x=-2k,\:A(8k,8k),\:\) c) \(k=1,\:\) d) периметр треугольника \(F_2AF_1\) меньше периметра треугольника \(F_2DF_1\).
