1. Дана функция \(f(x)=sin^2x-cos^2x-1\)
а) Определите четность функции.
в) Найдите максимальное и минимальное значения функции \(f(x).\)
с) Найдите координаты точек пересечения с осями графика функции \(f(x)\) для \(x \in[-\pi,\pi].\)
d) Начертите схематический график функции \(f(x)\) для \(x \in[-\pi,\pi].\)
e) Для функции \(g(x) = f(2x)\) найдите координаты точек экстремума, если \(x \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\) и определите их тип.
f) Определите четность функции \(h(x) = g(x)-f(x)\) и постройте схематический график \(h(x)\) для \(x \in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].\)
g) Как связаны значения интегралов \(\int_0^{\frac{\pi}{8}}(g'(x)-f'(x))dx\:\) и \(\:\int_{-\frac{\pi}{8}}^0(g'(x)-f'(x))dx\:?\)
2. Для \(x \in[0,2\pi]\) задана функция \(f(x)=\frac{2cos^2x + sin2x}{2cosx}.\)
а) Найдите область определения функции.
в) Есть ли асимптоты у функции, перпендикулярные оси \(x?\)
с) Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.
d) Найдите производную функции в области определения \(f(x).\)
e) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип.
f) Начертите схематический график функции \(f(x).\)
g) Для каких \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции в единственной точке?
h) Вычислите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f'(x),\) осью \(x\) и двумя прямыми \(x=\frac{3}{4}\pi\) и \(x=\frac{5}{4}\pi.\)
3. Для \(x \in[-\pi,\pi]\) задана функция \(f(x)=2sin^2x-1\)
а) Определите четность функции.
в) Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.
с) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип.
d) Для \(x \in[-\pi,\pi]\) задана функция \(g(x)=\frac{cos2x(1-sinx)}{sinx-1},\) найдите область определения функции \(g(x).\)
e) Решите уравнение \(f(x)=g(x)\) для \(x \in[-\pi,\pi].\)
f) Есть ли у функции \(g(x)\) вертикальные асимптоты?
g) Начертите схематический график \(g(x).\)
h) Дано, что \(\int_{-\pi}^0(b-f(x))dx=\frac{3\pi}{2},\) найдите значение параметра \(b.\)
4. Для \(x \in[0,2\pi]\) задана функция \(f(x)=\frac{6}{2cos^2x-5cosx-3}.\)
а) Найдите область определения функции.
в) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип.
с) Начертите схематический график функции \(f(x).\)
d) Для \(x \in[0,2\pi]\) задана функция \(h(x)=|f(x)+2|.\) Начертите схематический график функции \(h(x).\)
e) Для каких \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции \(h(x)\) в четырех различных точках?
f) Для \(x \in[0,2\pi]\) задана функция \(g(x)=|f(x)|+2.\) Верно ли, что для любого \(x \in[0,2\pi]\) выполняется неравенство \(h(x) < g(x)?\)
5. Для \(x \in[-2\pi,2\pi]\) задана функция \(f(x)=\frac{2sin(x)}{cos^2x-1}.\)
а) Найдите область определения функции.
в) Найдите уравнения асимптот функции, перпендикулярных оси \(x.\)
с) Определите четность функции.
d) Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
e) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип.
f) Начертите схематический график функции \(f(x).\)
g) Докажите, что функция не имеет точек перегиба.
h) Вычислите площадь фигуры, заключенной между графиком производной \(f'(x)\) и осью \(x\) для \(x \in[1.7,2]\)
6. Для \(x \in[-\pi,\pi]\) задана функция \(f(x)=a\cdot cos2x+sin^2x,\:a-\) параметр.
а) Определите четность функции.
в) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип, если известно, что функция не является постоянной.
с) Найдите значение параметра \(a\), для которого функция постоянна.
d) Дано, что \(a>1,\) начертите схематический график функции \(f(x)\) и график функции \(f'(x).\)
e) Дано, что площадь фигуры, заключенной между графиком \(f'(x)\) и осью \(x\), равна \(12.\) Найдите значение параметра \(a.\)
7. Для \(x \in[-\pi/2,\pi/2]\) задана функция \(f(x)=sin(x)\cdot cos^3(x).\)
а) Определите четность функции.
в) Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
с) Найдите координаты точек экстремума функции и определите их тип.
d) Начертите схематический график функции \(f(x).\)
Дана функция \(g(x)=1/f(x).\)
e) Найдите область определения функции \(g(x).\)
f) Найдите координаты точек экстремума функции \(g(x).\)
g) Начертите схематический график функции \(g(x)\) штриховой линией на рисунке графика функции \(f(x).\)
h) Найдите минимальное расстояние между графиками функций \(f(x)\) и \(g(x)\).
‹ ›