а) \(3/11.\)
в) \(3^3\cdot8/11^3\)
с) \(1-12p\)
e) \(p=1/20\)
f) Нет
1. Большая група учеников сдавала экзамен по математике. Среди учеников, сдавших экзамен успешно, девочек в \(3\) раза больше, чем мальчиков. Число девочек, которые не смогли успешно сдать экзамен в \( 8/3 \) раза больше числа девочек, успешно сдавших его. Пусть \(p\) - это вероятность из всей группы учеников случайным образом выбрать мальчика, успешно сдавшего экзамен.
а) Только из девочек выбрают ученицу. Какова вероятность, что она успешно сдала экзамен?
в) Только из девочек выбрают \(3\) учениц. Какова вероятность, что ровно \(2\) из них успешно сдали экзамен?
с) Из всей группы выбирают ученика. Какова вероятность, что это мальчик, не сдавший успешно экзамен.
d) Докажите, что \(0 < p < \frac{1}{12}\)
e) Найдите значение \(p\) если известно, что вероятность случайным образом выбрать девочку из числа учеников, не сдавших экзамен, равна вероятности случайным образом выбрать мальчика из числа учеников, не сдавших экзамен.
f) Зависимы ли события "сдать экзамен по математике" и "быть девочкой" в условиях данной задачи?
2. Лиор отвечает на вопросы теста. За тест он может получит 0, 1 или 2 балла. Вероятность того, что Лиор получит 2 балла в 3 раза больше вероятности того, что он получит 0 баллов. Пусть \(p, \:p>0\) - вероятность того, что Лиор получил 0 баллов.
а) Известно, что если Лиор отвечает на 2 теста (результаты не зависят друг от друга), то вероятность того, что он получит по меньшей мере один раз 2 балла, равна \(\frac {9}{2}p.\) Найдите \(p.\)
в) Лиор ответил подряд на вопросы 5 тестов (результаты не зависят друг от друга). Какова вероятность того, что он по меньшей мере за 3 из них получил по 2 балла?
с) Какова вероятность того, что он по меньшей мере за 3 первых из 5 тестов получил по 2 балла?
d) Какова вероятность, что за каждый из 5 тестов он получил или 1, или 2 балла?
e) Если известно, что по меньшей мере за один из 5 тестов Лиор получил 0 баллов. Какова вероятность, что за каждый из первых 3 тестов он получил по 2 балла и 1 балл за 5-й тест?
а) \(1/6\)
в) \(1/2\)
с) \(1/8\)
d) \((5/6)^5\)
e) \(1/24\)
3. В коробке лежат 3 красных шара и 2 желтых. Случайным образом вынимают шар из коробки. Если это желтый шар, его возвращают в коробку, если красный - откладывают в сторону.
а) Из коробки вынимают описанным способом подряд 3 шара. Какова вероятность, что среди них окажется ровно один красный шар?
в) Из коробки вынимают описанным способом подряд 3 шара. Какова вероятность, что красным был второй из них, если известно, что только один из них был красным.
с) Из коробки вынимают описанным способом подряд \(n\) шаров. Какова вероятность, что по меньшей мере один из них будет красным?
d) Из каждой из двух одинаковых коробок с 3 красными и 2 желтыми шарами в каждой вынимают описанным способом подряд по 3 шара. Какова вероятность, что ровно 3 из них будут красными, и они будут вынуты из одной коробки?
а) \(183/500\)
в) \(3/25\)
с) \(1-(2/5)^n\)
d) \(8/625\)
4. Вероятность того, что ученик сдал экзамен по математике равна \(x,\) а вероятность того, что ученик сдал экзамен по английскому языку равна \(2x.\) Вероятность того, что ученик, сдавший успешно экзамен по математике, сдал экзамен по английскому языку в \(3/2\) раза меньше вероятности того, что ученик, сдавший экзамен по английскому языку, не сдал экзамен по математике.
а) Докажите, что вероятность того, что ученик сдал оба экзамена равна \(\frac{1}{2}x\)
в) Чему равна вероятность того, что ученик, сдавший экзамен по английскому языку, сдал экзамен по математике?
с) Чему равна вероятность того, что ученик не сдал оба экзамена?
d) Экзамен сдавали 4 ученика. Какова вероятность того, что по меньшей мере трое учеников сдали оба экзамена, если \(x = 0.2\)?
в) \(1/4\)
с) \(1-5x/2\)
d) \(0,0037\)
5. В коробке лежат \(12\) шаров, большинство из них белые, остальные красные. Шар случайным образом вынимают и потом возвращают в коробку. Вероятность того, что два извлеченных "с возвратом" шара были разного цвета, равна \(\frac{4}{9}.\)
а) Сколько красных шаров в коробке?
в) Из коробки извлекают шары "без возврата" до тех пор, пока не достанут красный шар. Какова вероятность того, что достанут больше \(3\) шаров (считая и красный)?
с) После того, как в коробку вернули все вынутые шары и еще добавили зеленые шары, вероятность извлечь из корбки "с возвратом" два шара разного цвета равна \(\frac{4}{9}.\:\) Сколько добавили зеленых шаров?
а) \(4\)
в) \(14/55\)
с) \(30\)
6. В коробке А лежит \(a\) шаров: 3 красных и остальные зеленые, в коробке В лежит \(b\) шаров: 5 красных и остальные зеленые. Сначала из коробки А случайным образом достают один шар. Если достают красный, его перекладывают в коробку B, а если достают зеленый, ее возвращают в коробку А. Затем из коробки В случайным образом вынимают шар.
а) Найдите вероятность того, что оба раза достали красный шар, выразите ее через \(a\) и \(b\)
в) Известно, что вероятность оба раза вынуть красный шар описанным способом равна \(9/65\), а вероятность вынуть сначала красный шар, а потом зеленый равна \(21/130\). Найдите \(a\) и \(b\).
с) Найдите вероятность, что из коробки В достали зеленый шар, если известно, что из коробки А достали красный.
d) Все шары из коробок А и В переложили в другую пустую коробку, и из этой коробки 6 раз подряд доставали шар и возвращали назад. Найдите вероятность того, что или ровно 4 раза достали красный шар, или все 6 раз достали зеленый шар.
e) Известно, что ровно 4 раза достали красный шар. Найдите вероятность того, что красные шары доставали последовательно, один за другим.
а) \(18/(ab+a)\)
в) \(a=10,\:\:b=12\)
с) \( 7/13\)
d) \(0,1726\)
e) \(1/5\)
7. В колледже предложили сократить обеденный перерыв. Для принятия решения провели опрос среди студентов первого и второго курсов. Известно, что
1) 80% высказавшихся за предложение участников - это студенты первого курса
2) число первокурсников, высказавшихся за предложение, равно числу второкурсников, выступающих против.
Воздержавшихся не было. Обозначим через \(p\) вероятность случайного выбора поддерживающего предложение студента из всех участников опроса.
а) Найдите вероятность того, что случайным образом выбранный второкурсник будет против предложения.
в) Известно, что вероятность того, что случайно выбранный из числа первокурсников студент выступит за предложение на \(13/35\) больше чем вероятность того, что за предложение выступит случайно выбранный из второкурсников студент. Найдите \(p\).
с) Выбирают случайным образом одного из участников опроса. Какова вероятность, что он либо второкурсник, либо он поддерживает предложение?
d) Выберают случайным образом 5 участников опроса. Известно, что все пятеро отобранных — студенты второго курса. Какова вероятность того, что по крайней мере двое из них выступают за предложение и по крайней мере двое против него?
а) \(4/5\)
в) \(p=5/12\)
с) \( 3/4\)
d) \(32/125\)
8. Чтобы быть принятым на обучение на факультет, кандидат должен пройти два теста. Вероятность того, что кандидат успешно сдаст первый тест, равна \(P\:(P > 0.5)\). Если кандидат сдал первый тест, то вероятность того, что он сдаст второй равна \(P+0.1\) . Если кандидат не сдал первый тест, то вероятность того, что он сдаст второй, равна \(P-0.4\) . Вероятность того, что кандидат сдаст ровно один из двух тестов, равна \(1/4\).
a) Найдите \(P.\)
Для того, чтобы быть принятым на факультет, кандидат должен сдать оба теста.
b) Известно, что кандидат успешно сдал хотя бы один тест. Какова вероятность того, что его приняли на факультет?
Были протестированы три кандидата.
c) Какова вероятность того, что двое из трех кандидатов были приняты на факультет и один из них не прошел оба теста?
В обоих тестах было протестировано n кандидатов \((n>1)\).
d) Выразите через n вероятность того, что хотя бы один кандидат был принят на факультет и хотя бы один не был принят.
а) \(p=0.65,\)
в) \(39/59,\)
с) \( 3\cdot 0.35\cdot 0.75\cdot (0.65\cdot 0.75)^2,\)
d) \(1-(0.65\cdot 0.75)^n-(1-0.65\cdot 0.75)^n\)
9. Ежедневная газета распространяется только среди подписчиков, живущих в Хайфе или в Тель-Авиве, и должна доставляться к ним на дом каждый день утром до 6 часов. Редакция газеты провела опрос среди подписчиков: получили ли они газету вовремя в определенный день. Ответить на вопрос можно было только "да" или "нет". В опросе приняли участие все подписчики. Опрос показал, что вероятность случайным образом выбрать подписчика, получившего газету вовремя, из числа подписчиков, живущих в Хайфе, равна \(3/4\), а вероятность случайным образом выбрать подписчика, живущего в Хайфе, из числа подписчиков, получивших газету вовремя, равна \(5/9.\) Пусть \(p\) - это вероятность того, что случайно выбранный подписчик из всех подписчиков живет в Хайфе.
a) Выразите через \(p\) вероятность того, что случайно выбранный подписчик из общего числа подписчиков живет в Тель-Авиве и получил газету вовремя.
Известно, что для подписчиков, живущих в Тель-Авиве, число не получивших газету вовремя в 1,5 раза больше числа получивших газету вовремя.
b) Какой процент подписчиков получил газету вовремя?
Из числа подписчиков, которые не получили газету вовремя, случайным образом выбирают 2х подписчиков.
c) Какова вероятность, что первый выбранный подписчик живет Тель-Авиве, а второй живет в Хайфе?
В тот же день в редакцию позвонили 6 подписчиков, не получивших газету вовремя.
d) Какова вероятность, что не более 4 из них живут в Хайфе?
а) \(3p/5,\)
в) \(54\%,\)
с) \(90/{23}^2,\)
d) \(1-(5/23)^6-6\cdot(5/23)^5\cdot(18/23).\)
‹ ›