1. \(80\)% учеников 11 и 12 классов посещают кружки, это \(5/6\) всех 11-ти классников и \(3/4\) всех 12-ти классников.
а) Какова вероятность, что случайно выбранный ученик будет 11-ти классником
в) Какова вероятность, что случайно выбранный ученик будет 11-ти классником посещающим кружок.
с) Если выбран ученик, посещающий кружок, то какова вероятность, что он окажется 11-ти классником?
d) Случайно выбрали \(5\) учеников «с возвратом». Какова вероятность, что ровно \(3\) из них оказались 12-ти классниками, посещающими кружки?
\(х\) — число учеников в 11 классе, \(у\) — в 12 классе
а) \(0.8(х+у) = \frac{5}{6}х + \frac{3}{4}у => 3у = 2х\)
\(Р_{а} = х/(х+у) = х/(х+\frac{2}{3}х) = 0.6\)
в) \(Р_{в} = (\frac{5}{6}х)/(х+у) = (\frac{5}{6})Р_{а} = 0.5\)
с) \(Р_{с} =( \frac{5}{6}х)/(0.8(х+у)) = Р_{в}/0,8 = \frac{5}{8} =0.625\)
d) \(х = 1.5у => х+у = 2.5у,\)
\(Р_{d}=(0.75у)^3(2.5у-0.75у)^2/(2.5у)^5 =0.75^3 1.75^2/2.5^5 = 0.01323\)
Ответ: \( а) Р_{а}=0.6, в) Р_{в}= 0.5, с) Р_с=0.625, d) Р_d = 0.01323\)
2. Ученик может сдавать экзамен несколько раз подряд. Вероятность того, что ученик не сдаст экзамен в \(3\) раз больше чем вероятность, что он его сдаст.
а) Какова вероятность, что ученик сдаст экзамен с первого раза?
Известно, что ученик сдал экзамен.
в) Какова вероятность, что он сдавал экзамен не более 2х раз?
с) Какова вероятность, что он сдал экзамен на второй раз, если известно, что сдавал он не более 2х раз?
\(Р\) — вероятность, что ученик сдаст экзамен
а) \(Р + 3Р = 1 => Р = 0.25\)
в) \(Р + 3Р^2 = 0.25 + 3(0.0625) = 0.4375\)
с) \(3Р^{2}/( Р + 3Р^{2}) = {3}/{7}\)
Ответ: \(а) 0.25, в) 0.4375, с)3/7\)
3. Ученики в школе могут выбирать только один дополнительный предмет или физику, или химию.
Общее число мальчиков, изучающих или физику, или химию равно общему числу девочек, изучающих эти предметы.
Число девочек, изучающих химию, в \(3\) раза больше числа девочек, изучающих физику, а \(80\)% мальчиков изучаюти физику. Случайным образом выбирают ученика.
а) Случайным образом выбирают ученика, какова вероятность, что выбран будет мальчик, изучающий физику?
в) Если выбран ученик, изучающий химию. Какова вероятность, что это мальчик?
В школе \(200\) учеников.
с) Сколько учеников изучает химию?
d) Случайным образом выбирают 2х учеников («без возврата»), какова вероятность, что они оба изучают химию? (ответ с точностью до 3x цифр после запятой)
\(у\) - мальчиков в школе, \( х\)- девочек
\(\frac{1}{4}х\) - число девочек, изучающих физику,
\(\frac{3}{4}х\) - число девочек, изучающих химию,
\(0,8у\) - число мальчиков, изучающих физику,
\(0,2у\) - число мальчиков, изучающих химию
а) \( у = х\)
\(Р_{а} = 0,8у/(х+у) = 0,4\)
в) \(Р_{в} = 0,2у/(0,2у+\frac{3}{4}х) = \frac{20}{95}х = 0,21\)
с) \(х = у = 100,\)
\(0,2у+\frac{3}{4}х = 95\)
d) \(P_d = (\frac{95}{200})(\frac{94}{199}) = 0,224\)
Ответ: \(а) 0,4; в) 0,21; с) 95; d) 0,224\)