1. Маленькая окружность с центром в точке \(O\) касается в точке \(E\) внутренним образом большой окружности и проходит через ее центр \(M\).
Отезок \([ME]\) перпендикулярен \([AC]\). На большой окружности взята точка \(B.\) На маленькой окружности находится точка \(H\) такая, что отрезок \([AB]\) параллелен отрезку \([MH]\).
а) Докажите, что \(\angle ABC = \angle EHM\)
в) Докажите, что \(\triangle ABC \sim \triangle EHM\)
с) Во сколько раз \([HM]\) меньше \([BC]\)
d) Чему равно отношение площадей \(\triangle ABC\) и \(\triangle EHM\)
е) \(|EO| = 2\), \(|HE| = 2.4\), найти длину отрезка \(|BC|\).
а) \([AC]\) — диаметр \(=> \angle ABC = 90^0, [ME]\) перпендикулярен общей касательной, проходящей через точку \(E\), => \(O\) лежит на \([ME]\) и \([ME]\) — диаметр \(=> \angle EHM = 90^0\)
в) \(\angle ECB = \angle AEB\) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду) \(=> \triangle BEC\sim \triangle ABE\) по двум углам
3. Дана окружность с центром в точке \(O\). Хорда \(BE\) перпендикулярна касательной, проведенной через точку \(C\), лежащую на окружности. \([AB]\) — диаметр.
а) Докажиме, что \(\angle MBC = \angle MCE\)
в) Докажите, что \(MC^2 = MB\cdot ME\)
с) Дано \(CB=2\cdot MB\). Чему равно отношение площадей \(S_{ABC}/S_{CBM}\)?
а) \(\angle MCB = \angle MEC\) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду), \(\angle CME\) общий для \(\triangle CMB\) и \(\triangle CME => \angle MBC = \angle MCE\)
в) \(\triangle CMB\sim \triangle CME\) по двум углам \(=> MB/MC = MC/ME => MC^2 = MB\cdot ME\)
с) \(\angle MCB = \angle CAB, \angle CMB = 90^0\) по условию, \(\angle ACB = 90^0\)(т к \([AB]\) — диаметр) \(=>\triangle ABC \sim \triangle CBM\) по двум углам. \(CB=2\cdot MB\) по условию \(=> AB = 2\cdot CB => S_{ABC}/ S_{CBM} =2^2 = 4\)
