1. Шломи и Лиор одновременно начали работать на заводе. Зарплата Шломи в первый год работы составляла \(8000\) шекелей. Каждый год его зарплата увеличивалась на \(5\)% по сравнению с предыдущим годом. Зарплата Лиора в первый год работы составляла \(10 000\) шекелей, а через два года она составляла уже \(10609\) шекелей.
a) Какой была зарплата Шломи через два года после начала работы?
b) Через сколько лет после начала работы зарплата Шломи составит \(9724.05\) шекелей?
c) На какой процент каждый год увеличивалась зарплата Лиора?
d) Чья зарплата будет больше через 10 лет?
Для решения используем свойства геометрической прогрессии. Ежегодная зарплата - это геометрическая прогрессия. Для Шломи \(a_1=8000\), а \(q_1=1.05\). Для Лиора \(b_1=10000\), \(b_3= 10609\).
a) Зарплата Шломи через два года после начала работы: \(a_3 = 8000\cdot 1.05^2 = 8820\) шекелей.
b) \(9724,05=8000\cdot1.05^{n-1}, \: n = 5=>\) Зарплата Шломи на 5й год или через 4 года после начала работы составила \(9724.05\) шекелей
c) \(10609 = 10000\cdot q_2^2=> q_2=1.03=>\)зарплата Лиора увеличивалась на \(3\)% каждый год.
d) Зарплата через 10 лет составит для Шломи \(a_{11}=8000\cdot 1.05^{10}=13031.16\) шекелей, а для Лиора \(b_{11}=10000\cdot 1.03^{10} = 13439.16\) шекелей.
Ответ:a) \(8820\) шекелей, b) через 4 года после начала работы, c) \(3\)% каждый год, d) у Лиора.
2. Число жителей города каждый год увеличивается на \(9\)%. В январе \(2010\) года в городе было \(461\:895\) жителей.
a) Сколько жителей в городе было через \(10\) лет?
b) Сколько жителей было в \(2005\) году?
c) В каком году число жителей было \(710\:683\) человека?
Для решения используем свойства геометрической прогрессии: \(a_1\) это число жителей в \(2005\) году, тогда \(a_6\) это число жителей в \(2010\) году, \(a_{16}\) - число жителей в \(2020\) году.
a) В \(2020\) году было \(a_{16}=a_{6}\cdot 1.09^{10} = 1\:093\:473\) жителей.
b) \(a_6=a_1\cdot 1.09^5 =>a_1= 300\:200 =>\) В \(2005\) году было \(300\:200\) жителей.
c) \(a_{x} = 710\:683 = 300\:200\cdot1.09^{x-1}=> x=11 => a_{11}\) это число жителей в \(2015\) году.
Ответ:a) \(1\:093\:473\), b) \(300\:200\), c) в \(2015\) году.
3. Шломи 1 января 2011 положил в банк \(250\:000\) шекелей с постоянным процентом годовой прибыли. К 1 января 2022 года на счете накопилась сумма \(346\:058.47\) шекелей.
a) Во сколько раз увеличивалась сумма вклада каждый год?
b) Каким был годовой процент прибыли?
c) Чему была равна сумма вклада 1 января 2019 года?
d) В каком году сумма вклада 1 января была \(281\:377.20\) шекелей?
Для решения используем свойства геометрической прогрессии: первый член \(a_1=250\:000\) (01.01.2011 год), двенадцатый \(a_{12}=346\:058.47,\) (01.01.2022 года), знаменатель \(q\)