3. Дана пирамида \(SABC\), в основании которой лежит треугольник \(ABC\). Известно, что \(\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^0, \: |SA| = |SB| = |SC|\). Дан вектор \(\overrightarrow{SH} = t\cdot \overrightarrow{SA}+p\cdot\overrightarrow{SB}+k\cdot\overrightarrow{SC}\), где \(t,\:p,\:k\) - параметры. Вектор\(\overrightarrow{SH}\) перпендикулярен основанию \(ABC\).
а) Докажите, что \(t=p=k\)
в) Медианы основания пересекаются в точке\(M\). Докажите, что \(\overrightarrow{SM} = \frac {1}{3} (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC})\).
с) Найдите угол между вектором \(\overrightarrow{SM}\) и плоскостью \(ABC\).
d) Точка \(P\) лежит на прямой \(SM\), и объем пирамиды \(PABC\) в два раза больше объема пирамиды \(SABC\). Выразите вектор \(\overrightarrow{SP}\) через вектора \(\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}\).
е) Точка \(S\) лежит в начале координат, точки \(A, B, C\) лежат соответственно на положительных частях осей \(x, y, z,\) \(|\overrightarrow{SA}| = a\). Найдите параметрическое уравнение прямой \(SP\).
f) Напишите уравнение плоскости \(ABC\) используя параметр \(a\).
4. Даны точки \(A(0, 2, -1), B(-3, 2,2), D(-2,3,1)\). Точка \(D\) лежит на отрезке \(BC\), и \(\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}\).
а) Найдите координаты точки \(C\), и докажите, что треугольник \(\triangle ABC\) прямоугольный.
в) Найдите уравнение плоскости \(ABC\).
с) \(ABEC\) - прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке \(M\). \(S\) лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABEC\), проведенном через точку \(M\). Найдите параметрическое уравнение прямой \(MS\). Сравните боковые ребра пирамиды \(SABEC\).
d) Выразите величину угла \(\angle SAB\) через координаты точки \(S\).
е) Найдите координаты точки \(P\), такой что пирамида \(PABEC\) имеет равные боковые ребра и \(\angle SAB=\angle PAB\).
Ответ:\(C(0,5,-1),\:x+z+1=0,\:\underline {MS}=(-3/2,7/2,1/2)+t\cdot(1,0,1),\: |SA|=|SB|=|SE|=|SC|,\:cos\angle SAB =1/\sqrt{4t^2+9},\:P(-t-3/2,7/2,-t+1/2).\)
5. Прямая, проходящая через точку \(O\) начала координат и пересекающая плоскость \(\alpha\) в точке \(P(-1,-1,2)\), перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
а) Найдите уравнение плоскости \(\alpha\).
в) У пирамиды \(OABCD\) боковые ребра равны. Основание \(ABCD\) - это прямоугольник, который лежит в плоскости \(\alpha\), точка \(A\) лежит на оси \(x\), и точка \(B\) на оси \(y\). Найдите координаты вершин \(A\) и \(B\).
с) Найдите координаты вершин \(D\) и \(C\)
d) Вычислите величину угла между гранью \(AOB\) и основанием пирамиды \(ABCD\).
е) Точки \(F(-4,-2,0)\) и \(G(-2,-4,0)\) лежат на отрезке \(AB\). Докажите, что \(|FG|=\frac{1}{3}|AB|\)
f) Найдите координаты точек \(H\) и \(L\) таких, что объем пирамиды \(OFGHL\) будет в \(3\) раза меньше объема пирамиды \(OABCD\).
d) \(\overrightarrow{n_{AOB}}(0,0,1)\) - нормаль к плоскости \(AOB.\:\) Угол \(\beta\) между плоскостями \(AOB \) и \(\alpha\) найдем из скалярного произведения векторов как угол между нормалями \(cos\beta =(\overrightarrow{n_{AOB}}\cdot \overrightarrow{n_{\alpha}})/(|n_{AOB}|\cdot|n_{\alpha}|) = 2/\sqrt6.\)
f) \(\overrightarrow{DC}(6,-6,0),\:|DC|=|AB|,\) пусть точки\(H,L\) лежат на отрезке \(CD,\:|HL|=|FG|,\) и пусть точка \(L\) совпадает с точкой \(D(-2,4,4),\:\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{LH}=\overrightarrow{OD}(-2,4,4)+(1/3)\overrightarrow{DC}(6,-6,0)=\overrightarrow{OH}(0,2,4),\:H(0,2,4),\:L(-2,4,4).\)
7. Дан куб \(OABCDEFG\) и точки на ребрах куба \(T(6,0,1),\:K(6,2,0),\:H(0,6,2).\)
a) Найдите уравнение плоскости \(\alpha,\) проходящей через точки \(T,\:K,\:H\) и каноническое уравнение прямой \((FK).\)
b) Найдите координаты точки пересечения плоскости \(\alpha\) с осью \(OZ\) и уравнение прямой - линии пересечения плоскости \(\alpha\) и плоскости \(AED.\)
c) Найдите расстояние от точки начала координат до плоскости \(\alpha.\)
d) Найдите уравнение прямой \((OF)\) и координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью \(\alpha.\)
f) Найдите угол между прямой \((TF)\) и плоскостью \(\alpha.\)
g) Вычислите объем пирамиды \(FTKH.\)
h) Во сколько раз объем пирамиды \(FTKH\) превышает объем пирамиды \(OTKH.\)
a) \(4x+3y+6z-30=0,\:\frac{y-2}{2}=\frac{z}{3},\:x=6,\:\) b) \(P(0,0,5),\:\frac{x}{-3}=\frac{z-5}{2},\:y=0,\:\) c) \(30/\sqrt{61},\:\) d) \(\frac{x-6}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-6}{1},\:(30/13,30/13,30/13),\) e) \(3x-2y-z=0,\:\) f) \(sin\theta=48/61,\:\)g) \(V_{FTKH}=16,\:\) h) \(V_{FTKH}/V_{OTKH}=8/5.\)
8. Даны точки \(A(-1,-1,-1), \:B(-2,1,-1),\:C(-2,-1,2).\)
a) Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки \(A,\:B,\:C.\)
b) Известно, что объем пирамиды \(ABCD\) равен 7. Найдите геометрическое место точек \(D.\)
c) Среди всех возможных выбрали точку с координатами \(D(-2,-1,k),\) где \(k>0.\) Найдите значение параметра \(k.\)
d) Найдите координаты точки \(K\) - середины отрезка \(BD.\)
e) Через точки \(A,\:C,\:K\) провели плоскость \(\alpha.\) Найдите уравнение плоскости \(\alpha\) и угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC.\)
f) Найдите объем пирамиды \(ACKD.\)
g) На прямой \(BD\) взяли точку \(T\) такую, что \(|KD|=|DT|.\) В каком отношении плоскость \(\alpha\) делит объем пирамиды \(ABCT?\)
a) \(6x+3y+2z+11=0,\:\) b) \(6x+3y+2z+17=0,\:6x+3y+2z+5=0,\:\) c) \(k=5,\:\) d) \(K(-2,0,2),\:\) e) \(6x+2z+8=0,\:\) f) \(V=7/2,\:\)g) \(1:2.\)
9. Дан куб с вершинами основания \(A(0,0,0), \:B(12,0,0),\:C(12,12,0), \:D(0,12,0).\) Даны точки \(P(6,12,0),\:M(0,12,9),\:K(0,0,3).\) Известно, что точка\(F\) делит отрезок \(MC\) в отношении \(MF:FC=2:1\), точка \(L\) делит отрезок \(MK\) на две равные части.
a) Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки \(K,\:M,\:C.\)
b) Найдите расстояние от точки \(P\) до плоскости \(KMC.\)
c) Найдите косинус угла между прямыми \(LF\) и \(CB'.\)
d) Найдите объем пирамиды \(B'CMK.\)
e) Найдите объем пирамиды \(B'MLF.\)
f) Найдите геометрическое место точек вершин пирамид с основанием \(MLF\) и объемом в 2 раза меньшим чем объем пирамиды \(B'MLF.\)
g) Известно, что точка \(T\) делит отрезок \(LF\) пополам. Найдите координаты точки \(N\) - точки пересечения продолжения отрезка \(MT\) с отрезком \(KC.\)
a) \(3x-2y+4z-12=0,\:\) b) \(18/\sqrt{29},\:\) c) \(9/\sqrt{218},\:\) d) \(168,\:\) e) \(56,\:\) f) \(3x-2y+4z-48=0,\:3x-2y+4z+24=0,\:\) g) \(N(48/7,48/7,9/7).\:\)
10. Дан куб \(ABCDA'B'C'D'.\)
a) Докажите, что диагональ \(CA'\) перпендикулярна плоскости \(BC'D\).
b) Точка \(E\) - точка пересечения медиан треугольника \(BC'D\). Выразите вектор \(\overrightarrow{CE}\) через вектора \(\overrightarrow{AB},\:\:\overrightarrow{AD},\:\:\overrightarrow{AA'}.\)
c) Докажите, что точки \(C,\:E,\:A'\) лежат на одной прямой.
d) Даны координаты точек \(D(0,0,0),\:C(4,3,0),\:A(3,n,p),\:n,p - \) параметры, координата \(z\) точки \(C'\) положительна. Найдите координаты точки \(A\) и докажите, что грань \(ABCD\) лежит в плоскости \(z=0.\)
e) Найдите координаты точки \(C'.\)
f) Линией пересечения плоскостей \(BC'D\) и \(BCC'B'\) является прямая \(l.\) Напишите параметрическое уравнение для прямой \(l.\)
g) Найдите параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через прямую \(l\) и не пересекает ось \(x.\)
b) \(\overrightarrow{CE}=1/3(\overrightarrow{AA'}-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}),\:\) d) \(A(3,-4,0),\:\) e) \(C'(4,3,5),\:\) f) \((x,y,z)=(-3,4,5)t+(4,3,5),\:\) g) \((x,y,z)=(4,3,5)+u(-3,4,5)+v(1,0,0).\:\)
11. Даны две плоскости \(\pi _1:\:(k+2)x+y+(k+1)z+11=0\) и \(\pi _2:\:(k+1)x+y+z-5=0,\:k -\) параметр
a) Докажите, что эти плоскости пересекаются.
b) Известно, что линия пересечения этих плоскостей \(l_1\) параллельна прямой \(l_2:\: (x,y,z)=(1,2,-1)+m(-1,k,k).\) Найдите значение параметра \(k.\)
c) Напишите параметрическое уравнение прямой \(l_1\) - линии пересечения данных плоскостей.
d) Найдите угол между плоскостями \(\pi _1,\:\pi _2.\)
Точка \(P\) находится на прямой \(l_1\) и на плоскости \(yz\), точки \(A\) и \(B\) являются точками пересечения оси \(y\) с плоскостями \(\pi _1\) и \(\pi _2.\)
e) Найдите координаты точек \(P,\:A,\:B.\)
f) Найдите площадь треугольника \(\triangle PAB.\)
b) \(k=1,\:\) c) \((x,y,z)=(1,20,-17)+m(-1,1,1),\:\) d) \(cos\alpha =3\sqrt{21}/14,\:\) e) \(P(0,21,-16),\:A(0,-11,0),\:B(0,5,0),\:\) f) \(S=128.\:\)
