complex-5-2

1. Даны два сопряженных комплексных числа \(\:z_1 = 2a^2+5a+4+(2a^2+3a+2)i\:\) и \(\:z_2 = a^2+8a+8+(2-a^2+2a)i,\) где \(a-\) действительный параметр.

а) Найдите \(a\).

в) Из этих двух чисел составили новые числа \(w_1=(\frac {z_1}{\sqrt{2}})^{4n}\) и \(w_2 = (\frac {z_2}{\sqrt {2}})^{4n+2},\) где \(n-\) натуральное число. Докажите, что \(w_1-\) действительное число.

с) Докажите, что у числа \(w_2\) действительная часть равна нулю.

d) Известно, что числа \(w_1\) и \(w_2\) лежат в гауссовой плоскости на окружности \(|z-p|=m, \:\) где \( p\) и \( m\) - действительные параметры, \(z\) - комплексное число. Найдите \(p\) и \(m\) для любого натурального \(n\).

а) \(2a^2+5a+4 = a^2+8a+8 => (a-4)(a+1)=0,\) \(2a^2+3a+2 = -(2-a^2+2a) => (a+4)(a+1)=0 => a=-1 => z_1 = 1+i,\:z_2=1-i. \)

в) \(w_1=(\frac {1+i}{\sqrt{2}})^{4n} = (cos(\pi/4)+i\cdot sin(\pi/4))^{4n}=cos(4n\pi/4)+i\cdot sin(4n\pi/4)=cos(n\pi)+i\cdot sin(n\pi)=cos(n\pi)=(-1)^n =>w_1\) - действительное число

с) \(w_2 = (\frac {1-i}{\sqrt {2}})^{4n+2}=cos((4n+2)\pi/4)-i\cdot sin((4n+2)\pi/4)=\)\(cos(n\pi+\pi/2)-i\cdot sin(n\pi+\pi/2)=-i\cdot sin(n\pi+\pi/2)=i\cdot(-1)^{n+1} => w_2 \) - чисто мнимое число

d) \(w_1= 1\) или \(-1,\) \(w_2= i\) или\((-i) \:=>p=0, m=1.\)

Ответ: \(a = -1,\:p=0,\: m=1.\)

2. Дано число \(z = R(cos\:\alpha + i\cdot sin\:\alpha)\) в третьей четверти гауссовой плоскости. Известно, что \(\frac{z}{\bar z} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt {3}}{2}\)

а) Найдите \(\alpha\).

в) Если известно, что \(\: |2iz|+|\frac{\bar z}{i}| - |\frac{z}{\bar z}| = 8\), найдите \(R\).

c) Докажите для найденного \(z\), что число \(\frac {z}{\bar z}\) является одним из решений уравнения \(w^9 = \frac {z^3}{27}\)

d) Вершины \(B\) и \(C\) при основании равнобедренного треугольника \( ABC\) на гауссовой плоскости соответствуют числам \(\frac{z}{\bar z}\) и \(\frac{\bar z}{z}\). Третьей вершине соответствует число \(z+k,\) где \(k\) чисто мнимое. Найдите \(k\).

e) Найдите площадь четырехугольника \(ABOC\), где \(O\) - точка начала координат.

а) \(\frac{z}{\bar z} = \frac {z^2}{R^2}=cos2\alpha+i\cdot sin2\alpha= -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt {3}}{2}= cos 2\pi/3+i\cdot sin2\pi/3 => \alpha =\pi/3 +k\pi, k-\) натуральное. По условию \(\alpha\) лежит в III четверти \(=> \alpha = 4\pi/3 +2k\pi =>z=R(-\frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}), \:\bar z =R(-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}).\)

в) \(|R(\sqrt 3-i)|+|R(\frac{\sqrt {3}}{2}+i\frac{1}{2})|-|-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt {3}}{2}|=8 => 2R+R-1=8 =>R=3 => z=3(-\frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}).\)

с) \(z=3(cos(4\pi/3+2k\pi)+i\cdot sin(4\pi/3+2k\pi)) => z^3=3^3(cos(4\pi+6k\pi)+i\cdot sin(4\pi+6k\pi))=27,\)

\(\frac{z}{\bar z} = -\frac{1}{2} +i \frac{\sqrt {3}}{2} = cos(2\pi/3+2n\pi)+i\cdot sin(2\pi/3+2n\pi), n-\) натуральное \(=> (\frac{z}{\bar z})^9 = cos (6\pi+18n\pi) +i\cdot sin(6\pi+18n\pi)= 1 => z^3/27 = (\frac{z}{\bar z})^9\)

d) \(\frac{z}{\bar z} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt {3}}{2},\: \frac{z}{\bar z}\cdot \frac{\bar z}{ z}=1\:=> \: \frac{\bar z}{ z} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt {3}}{2}, \:z+k=-\frac{3}{2}-i\frac{3\sqrt3}{2}+i\cdot|k| - \)действительное число, так как вершина \(A\) лежит оси \(Re\:=>|k| = \frac{3\sqrt3}{2}, \: k=i\cdot \frac{3\sqrt3}{2} => z+k= -3/2.\)

е) \(S_{ABOC} = (3/2)\cdot (\sqrt{3}/2)=3\sqrt{3}/4.\)

Ответ: \(\alpha =4\pi/3 +2k\pi, k-\) натуральное, \(R = 3, \:k=i\cdot \frac{3\sqrt3}{2}, \:S_{ABOC} = 3\sqrt{3}/4.\)

3. В первой четверти гауссовой плоскости находится решение уравнения \(z^2 + z\bar z = z + 2\bar z + 9 + 7i,\) где \(\:z\) - комплексное число .

а) Найдите радиус окружности, на которой находится это решение.

в) В эту окружность вписывают равнобедренный прямоугольный треугольник, вершина при прямом угле которого совпадает с положением этого решения на плоскости. Найдите площадь этого треугольника.

с) Найдите координаты остальных вершин.

d) Треугольник достраивают до квадрата. Числа, которые соответствуют вершинам квадрата в первой и третьей четвертях, умножают на \(r_1\cdot [cos\:\alpha + i\:sin\:\alpha]\), а числа, соответствующие двум другим вершинам, умножают на \(r_2\cdot [cos\:(\alpha + 30^0) + i\:sin\:(\alpha + 30^0)],\) где \(r_1 \neq r_2,\) \(\:r_1\) и \(r_2\) - положительные. В результате получают новый четырехугольник. Какого вида четырехугольник был получен?

е) Площадь этого четырехугольника в больше площади квадрата в \(\sqrt{3}\) раз. Чему равно произведение \(\:r_1\cdot r_2?\)

а) \(z = R(cos\:\alpha + i\cdot sin\:\alpha)\:=>\)\(R^2(cos^2\alpha-sin^2\alpha+i\cdot 2sin\alpha\cdot cos\:\alpha)+R^2=R\:cos\:\alpha+i\cdot R\:sin\:\alpha+2R\:cos\:\alpha-i\cdot2R\:sin\:\alpha+9+i\cdot 7\:=> \)

\(\begin{cases} 2R^2cos^2\alpha-3R\:cos\:\alpha=9\\2R^2sin\:\alpha \cdot cos\:\alpha+Rsin\:\alpha=7\end{cases}\:=>R\:cos\:\alpha=3, R\:cos\:\alpha \neq -3/2\) так как \(\alpha\) лежит в I четверти \(=>R\:sin\:\alpha = 1 \:=>R=\sqrt {10}\:=> z=3+i.\)

в) \(S_{ACB} = (1/2)|AB|\cdot|OC|=(\sqrt{10})^2=10\)

с) \(A(-1,3),\:B(1,-3),\:C(3,1).\)

d) \(D(-3,-1).\:\) При умножении чисел \((3+i)\) и \((-3-i)\) на \(r_1\cdot [cos\:\alpha + i\:sin\:\alpha]\) произойдет поворот на угол \(\alpha,\) точка \(C\) перейдет в \(C'\), а точка \(D\) в \(D'.\)

При умножении чисел \((-1+3i)\) и \((1-3i)\) на \(r_2\cdot [cos\:(\alpha + 30^0) + i\:sin\:(\alpha + 30^0)]\) произойдет поворот на угол \(\alpha+ 30^0,\) точка \(A\) перейдет в \(A'\), а точка \(B\) в \(B'. \:A'C'B'D' -\) параллелограмм, точка пересечения диагоналей \(O\) делит диагонали пополам.

е) \(S_{ACBD}=20, \:S_{A'C'B'D'}=4\cdot (1/2)|OC'|\cdot|OB'| \:sin\:(90^0+\alpha-(\alpha+30^0))=2\cdot r_1\cdot r_2\cdot |OC|\cdot|OB| \cdot(\sqrt3/2)=S_{ACBD}\cdot r_1\cdot r_2\cdot(\sqrt3/2).\) По условию \(S_{A'C'B'D'} =\sqrt3\cdot S_{ACBD} \:=> r_1\cdot r_2=2.\)

Ответ: \(R=\sqrt{10}, \:S_{ACB}=10,\:A(-1,3),\:B(1,-3),\:C(3,1),\) параллелограмм, \(r_1\cdot r_2=2.\)

4. Решения уравнения \(i\cdot z^6 = \frac{1}{64},\) где \(z\) - комплексное число, соответствуют вершинам выпуклого многоугольника в гауссовой плоскости.

а) Найдите найдите все решения данного уравнения.

в) Покажите, что для каждой вершины в этом многоугольнике существует вершина симметричная относительно начала координат.

c) Чему равна сумма полученных решений?

d) Напишите уравнение, решениями которого являются решения уравнения \(i\cdot z^6 = \frac{1}{64}\) и числа, полученные умножением этих решений на \((\frac{\sqrt{3}}{2} + i\cdot\frac{1}{2})\)

а) \(z = R(cos\:\alpha + i\cdot sin\:\alpha)\:=>i\cdot R^6(cos\:6\alpha+i\cdot sin\:6\alpha) = 1/64\:=> \)\(cos\:6\alpha=0,\:sin\:6\alpha=-1\:=>6\alpha=3\pi/2+2k\pi\:=>\alpha=\pi/4+k\pi/3,\: R^6=1/64 =>\)\(R=1/2 \:=>z=(1/2)(cos(\pi/4+k\pi/3)+i\cdot sin(\pi/4+k\pi/3))\)

в) В многоугольнике на плоскости 6 вершин, Вершина, симметричная относительно начала координат получается в результате поворота на \(\pi=3\cdot\pi/3\:=> \) следовательно 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 вершины шестиугольника попарно симметричны.

с) Из попарной симметрии вершин следует, что \(\sum{z_n}=0,n=1,2,3,4,5,6.\)

d) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\cdot\frac{1}{2}= cos(\pi/6)+i\cdot sin(pi/6)\) => \(z\cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + i\cdot\frac{1}{2}) = (1/2)(cos(\pi/4+k\pi/3)+i\cdot sin(\pi/4+k\pi/3))\cdot (cos(\pi/6)+i\cdot sin(\pi/6))=\)\((1/2)(cos(\pi/4+\pi/6+k\pi/3)+i\cdot sin(\pi/4+\pi/6+k\pi/3))=(1/2)(cos(5\pi/12+k\pi/3)+i\cdot sin(5\pi/12+k\pi/3)).\) Общее решение искомого уравнения \(z=(1/2)(cos(\pi/12+k\pi/6)+i\cdot sin(\pi/12+k\pi/6))- 12\) точек на пллоскости \(=>12\alpha=\pi+2k\pi\:=>z^{12}=(1/2)^{12}(cos(2k+1)\pi+i\cdot sin(2k+1)\pi)=-(1/2)^{12}\:=>\) искомое уравнение \( z^{12}=-1/2^{12}.\)

Ответ: \(z=(1/2)(cos(\pi/4+k\pi/3)+i\cdot sin(\pi/4+k\pi/3)),\:\sum{z_n}=0,\: z^{12}=-1/2^{12}.\)

5. Дано уравнение \(z^3 = -1,\:(z - \) комплексное число).

а) Найдите решения этого уравнения.

в) Дана геометрическая прогрессия \(a_n\), первым членом которой является решение данного уравнения, лежащее в первой четверти гауссовой плоскости, а знаменателем прогрессии является число \(2i\). Докажите, что \(a_{n+4} = 16\cdot a_n\)

c) Сделайте чертеж: на гауссовой плоскости постройте четырехугольник, вершинами которого являются первые четыре члена прогрессии. Найдите площадь этого четырехугольника.

d) Во сколько раз площадь четырехугольника, вершинами которого являются члены прогрессии с пятого по восьмой, больше площади четырехугольника, вершинами которого являются члены прогрессии с первого по четвертый?

а) \(z = R(cos\:\alpha + i\cdot sin\:\alpha)\:=> z^3 = R^3(cos\:3\alpha + i\cdot sin\:3\alpha) = -1\:=>sin\:3\alpha=0,\:cos\:3\alpha=-1,\:=>\)\( 3\alpha=(2k+1)\pi\:=>\alpha= \pi/3+2\pi k/3,\:R=1 \:=> z= cos(\pi/3+2\pi k/3) +i\cdot sin(\pi/3+2\pi k/3).\) На плоскости решения предcтавлены тремя точками \((1/2,\sqrt 3/2),\:(-1,0), \:(1/2,-\sqrt 3/2)\)

в) \(a_1=cos(\pi/3) +i\cdot sin(\pi/3),\: q=2i=2(cos(\pi/2)+i\cdot sin(\pi/2), \: a_{n+4}=a_n\cdot q^{4} = a_n\cdot 2^{4}(cos(4\pi/2)+i\cdot sin(4\pi/2)=16a_n.\)

с) \(a_2=2i\cdot(1/2+i\cdot\sqrt 3/2)=-\sqrt 3+i=2(-\sqrt 3/2+i/2), \:a_3=-2-i\cdot 2\sqrt3=4(-1/2-i\sqrt 3/2), \:a_4=8(\sqrt 3/2-i/2).\)

d) \(S(a_1a_2a_3a_4)=(2+8)(1+4)/2=25, S(a_5a_6a_7a_8)=16(2+8)\cdot 16(1+4)/2=16^2\cdot25\)

Ответ: \(z= cos(\pi/3+2\pi k/3) +i\cdot sin(\pi/3+2\pi k/3), \:S(a_1a_2a_3a_4)=25, \:S(a_5a_6a_7a_8)/(S(a_1a_2a_3a_4) = 16^2\)

6. Даны уравнения, где \(z - \) комплексное число. Найдите решения этих уравнений.

а) \(|z|-z=1+2i\)

в) \(|z|+z=2+i\)

c) \(z^2+2z+5=0\)

d) \(z^2+(5-2i)\cdot z+5(1-i)=0\)

e) Сделайте чертеж: на гауссовой плоскости постройте треугольник, вершинами которого являются решения уравнений из пунктов a) и c). Найдите площадь этого треугольника.

\(a)\:3/2-2i,\:b)\:3/4+i,\:c)\:-1\pm 2i, \:d)\:-2+i,\:-3+i,\:e)\:S=5\)

7. Даны уравнения, где \(z - \) комплексное число. Найдите решения этих уравнений.

а) \(z^3=-4+\sqrt{48}i\)

в) \(z^4=-1-\sqrt3i\)

c) \((z+1)^4-16=0\)

d) Сделайте чертеж: на гауссовой плоскости постройте четырехугольник, вершинами которого являются решения уравненя из пункта c). Найдите площадь этого четырехугольника.

e) Найдите \(min\:\: |3+2i-z|\) если \(|z|\leqslant 1.\)

\(a)\:2(cis\frac{2(3k+1)\pi}{9}),\:k=0,1,2,\:b)\:\sqrt[4]{2}(cis\frac{(3k+2)\pi}{6}), \:k=0,1,2,3,\:c)\:1,\:-3,\:-1\pm 2i, \:d)\:S=8,\:\:e)\: \sqrt{13}-1.\)

8. Даны уравнения, где \(z - \) комплексное число. Найдите решения этих уравнений.

а) \(z^4+18z^2+81=0\)

в) \(z^4+4z^2+3=0\)

c) Почему эти уравнения имеют разное количество корней?

d) Решите систему уравнений \(\begin{cases}(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i & \\(4+2i)z_1+(2+3i)z_2=7 & \end{cases}\)

\(a)\:3i,\:-3i,\:b)\:\pm i,\:\pm \sqrt {3}i,\:d)\:z_1=1,\:z_2=i\)

9. Дана геометрическая прогрессия \(a_n\), в которой первый член равен знаменателю прогрессии \( a_1=q=\frac{1}{2i}\).

а) Найдите сумму геометрической прогрессии

в) Построили последовательность из членов данной прогрессии, стоящих на нечетных местах. Является ли данная последовательность геометрической прогрессией? Найдите ее сумму.

c) На гауссовой плоскости отметили точки \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\). Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в точках \(a_1, a_2, a_3\) больше площади треугольника с вершинами в точках \(a_3, a_4, a_5\)?

d) Дана последовательность с общим членом \(b_k=\frac{1-ik}{1+ik}\). Найдите предел, к которому стремится \(b_k\) при \( k\rightarrow\infty\)

\(a)\:\frac{-1-2i}{5},\:b)\:\frac{-2i}{5},\:c)\) в \( 16\) раз, \(d)\:-1\)

10. Даны уравнения, где \(z - \) комплексное число. Найдите решения этих уравнений и изобразите их на плоскости.

а) \(z^2-3z\overline z+2=0\).

в) \(4z^2-3z\overline z-1=0\).

c) \(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0\).

d) Известно, что \(z-\) корень уравнения \(z+\frac{1}{z}=1.\) Вычислите \(z^{142}+\frac{1}{z^{142}}\)

\(a)\:\pm1,\:\pm\frac{i}{\sqrt2},\:b)\:\pm 1,\:c)\:z_n=cis\frac{2n\pi}{7},\:n=1,2,3,4,5,6,\:n\neq 0,\:d)\:-1\)

11. Дана геометрическая прогрессия, первый член \(a_1=z,\:|z|=1\), знаменатель \(q=z^2,\) где \(z - \) комплексное число.

а) Найдите сумму \(n\) первых членов прогрессии.

в) Дано: \(z=cis(\pi/10)\). Докажите, что сумма первых 5 членов прогрессии чисто мнимое число

с) Найдите сумму \(sinx+sin3x+sin5x+sin7x+sin9x\), если \(x=\pi/10\).

\(a)\:\frac{z(z^{2n}-1)}{z^2-1}=\frac{sinkx}{sinx}(coskx+i\cdot sinkx),\:c)\:\frac{sin^{2}5x}{sinx}=1/sin\frac{\pi}{10}\)

12. Известно, что \(z^2+\bar z=0.\)

а) Найдите все комплексные числа z, удовлетворяющие этому условию.

в) Составьте уравнение 3-й степени с корнями, равными числам, полученным в пункте a).

c) Точки, соответствующие числам, найденным в пункте a), лежат на окружности в гауссовой плоскости. Через эти точки провели касательные к данной окружности. Найдите площадь треугольника, образованного касательными.

d) Составьте уравнение, корнями которого являются числа, полученные в пункте a) и числа, соответствующие точкам пересечения касательных.

e) Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в точках из пункта a) меньше площади треугольника с вершинами в точках пересечения касательных?

a) \(z_1=1/2+i\sqrt3/2,\:z_2=-1,\:z_3=1/2-i\sqrt3/2,\:\) b) \(z^3=-1,\:\) c) \(S=3\sqrt3,\:\) d) \(z^6-7z^3-8=0,\:\) e) в \(2\) раза.

13. На комплексной плоскости трем точкам соответствуют три комплексных числа:\(\:z_1 - A,\:z_2 - B,\:z_3 - C.\) Известно, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

a) Найдите комплексное число \(z_4,\) которое соответствует точке \(D.\)

b) На плоскости построили еще один параллелограмм \(A_1B_1C_1D_1.\) Докажите, что точки, делящие отрезки \(AA_1,\:BB_1,\:CC_1,\:DD_1\) в одном и том же отношении, являются вершинами параллелограмма.

c) Точка \(G\) - образ точки \(B\) при повороте на угол \(\alpha\) вокруг точки \(A.\) Найдите комплексное число \(z_5\), соответствующее точке \(G\).

d) Точки \(A\) и \(B\) вершины квадрата \(ABEF.\) Найдите координаты вершин \(E \: (z_6)\) и \(F \:(z_7).\) (Два варианта ответа.)

e) На комплексной плоскости постройте точку \(K\) , которой соответствует число \(z_8,\) такую, что \(z_1+z_2\cdot i=z_3+z_8\cdot i.\)

f) Найдите комплексное число, которому соответствует центр окружности, описанной вокруг квадрата \(ABEF.\)

a) \(z_4=z_1+z_3-z_2,\:\) c) \(z_5=z_1+(z_2-z_1)\cdot (cos\alpha + i\cdot sin\alpha),\:\) d) \(E:\: z_6=z_2\pm (z_2-z_1)\cdot i,\:F:\:z_7=z_1\pm (z_2-z_1)\cdot i\:,\) e) \( z_8+z_1\cdot i = z_3\cdot i+z_2 ,\:\) f) \(z_0=z_1\cdot(1\mp i)+z_2\cdot (1\pm i).\)

14. Дано уравнение \(z^3 = 1/z^3,\:(z - \) комплексное число).

a) Известно, что \(z_0 - \) решение данного уравнения, лежащее в четвертой четверти гауссовой плоскости. Найдите \(z_0\).

b) Точки \(A,\:B,\:C\) представлены на гауссовой плоскости комплексными числами \(d\cdot z_0,\:\:di\cdot z_0,\:\:d\cdot z_0^4\:\:\) соответственно, где \(d\) - положительный параметр. Известно, что площадь треугольника \(ABC\) равна \(5d+6\). Найдите значение \(d.\)

c) Определили новое число \(w=(z_0^2-1/z_0^2)(1+i).\) Найдите \(|w|\) и аргумент (угол) \(w.\)

d) Дано, что число \(w^n\:\:(n\) - натуральное) является чисто мнимым и лежит вне окружности, описанной вокруг треугольника \(ABC.\) Найдите минимальное \(n.\)

a) \(z_0=1/2-(\sqrt 3/2)i,\:\) b) \(d=6,\:\) c) \(|w|=\sqrt 6,\:\:\alpha =-45^0\:,\) d) \( n=6.\)

15. Дано уравнение I: \(w^6 = -27,\:(w - \) комплексное число).

a) Решите уравнение I.

Дано уравнение II: \((z+(\sqrt 3/2)i)^6 = -27,\:(z - \) комплексное число).

b) Используя решения уравнения I запишите решения уравнения II в алгебраической форме.

c) Покажите, что решения уравнения II лежат на окружности на гауссовой плоскости. Найдите уравнение этой окружности.

d) Докажите, что решения уравнения II лежат в вершинах правильного шестиугольника на гауссовой плоскости.

e) Два чисто мнимых и два действительных решения уравнения II являются вершинами четырехугольника. Определите вид этого четырехугольника.

f) Найдите отношение площади шестиугольника из пункта d) к площади четырехугольника из пункта e).

a) \(w_k=\sqrt3\cdot cis(\alpha _k),\:\:\alpha _k=\pi/6+(\pi/3)k\:\:k=0,1,2,3,4,5,\:\) b) \(z_0=3/2,\:\:z_1=(\sqrt3/2)i,\:\:z_2=-3/2,\:\:z_3=-3/2-\sqrt3i,\:\:z_4=(-3\sqrt3/2)i,\:\:z_5=3/2-(\sqrt3)i,\:\) c) \(x^2+(y+\sqrt3/2)^2=3\:,\) e) дельтоид (дальтон), f) \(1,5.\)

‹ ›

БАГРУТ