log-5-2

1. Дана функция \(f(x)=\frac {(ln(x))^2}{(ln(x))^2-1}.\)

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите асимптоты функции \(f(x)\) перпендикулярные осям координат.

с) Найдите области возрастания и убывания функции \(f(x).\)

d) Постройте график функции \(f(x).\)

е) Пересекает ли прямая \(y = 1\) график функции \(f(x)?\)

f) При каких значениях \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции \(f(x)\)в одной точке?

g) Даны две функции \(h(x)=(ln(x))^2+1, \: g(x)=\frac{1}{f(x)-1}.\) На оси \(x\) лежат две точки \(A\) и \(B,\) в которых функция \(g(x)\) не определена. Точки \(C\) и \(D\) находятся на графике функции \(h(x).\) \(ABCD\) - прямоугольник. Найдите площадь этого прямоугольника.

а) \(x > 0, x\neq e,\:x\neq 1/e.\)

в) \(x=e,\:x=1/e\) - вертикальные асимптоты, \(y=1\) - горизонтальная асимптотаю

с) \(f'(x)=\frac{-2lnx}{x(ln^2x-1)^2},\:x=1, f'(1)=0,\:x\in(0,1/e)\cup(1/e,1)\:f'(x) > 0 \:f(x)\) - возрастает, \(x\in(1,e)\cup(e,+\infty)\:f'(x) < 0 \:f(x)\) - убывает.

e) Прямая \(y=1\) не пересекает график функции.

f) \(k = 0,\) прямая \(y= 0\) пересекает график функции в одной точке \((1,0).\)

g) \(g(x)= ln^2x-1, (x\neq(1/e),x\neq e).\:\:\:h(x)=ln^2x+1, \:\:\:A(1/e,0),\:B(e,0),\:C(1/e,2),\:D(e,2)\:=>S=2(e-1/e).\)

Ответ:

2. Дана функция \(f(x),\) она определена для любого \(x\), непрерывна и нечетна, \(y=0 -\) асимптота этой функции. У функции есть единственная точка минимума с координатами \((-1,-a), \: a - \) положительный параметр.

а) Начертите возможный схематичный график функции \(f(x).\)

в) Дана функция \(h(x)=ln(f(x)).\) Найдите область определения функции \(h(x).\)

с) Найдите асимптоты функции \(h(x)\) перпендикулярные осям координат.

d) При каких значениях параметра \(a\) график функции \(h(x)\) пересекает ось \(x\) в двух точках?

е) Начертите схематичный график функции \(h(x)\), если известно, что он пересекает ось \(x\) в двух точках.

f) Дана функция \(f(x)=\frac{4x}{1+x^2},\) функция \(g(x)\) такова, что \(g'(x)=f(x)\) и \(g(0)=0.\) Найдите функцию \(g(x).\)

g) Определите четность функции \(g(x).\)

h) При каком \(t\) справедливо равенство \(2\cdot \int_{-5}^tg(x)dx = \int_{-5}^{5}g(x)dx \)?

b) \(f(x) > 0\:=> x\in(0,+\infty).\)

c) \(x=0\) - вертикальная асимптота \(h(x).\)

d) \(h(x)=0\:=>f(x)=1\:=>\) при \(a>1\;\:f(x)=1=>h(x)=0\) в двух точках.

f) \(g(x)=-2ln|1-x^2|\)

g) \(g(x)=g(-x)\:=>g(x)\) четна.

h) При \(t=0,\) так как функция \(g(x)\) четна.

3. Дана функция \(f(x)=x+ln(x^2-8)\)

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите асимптоты функции \(f(x),\) перпендикулярные осям координат.

с) Найдите координаты точки экстремума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)

d) Начертите схематический график функции \(f(x).\)

е) Найдите область определения функции \(f'(x).\)

f) Найдите асимптоты функции \(f'(x),\) перпендикулярные осям координат.

g) Найдите координаты точек пересечения графика функции \(f'(x)\) с осями координат.

h) Начертите схематичный график функции \(f'(x),\) если известно, что у нее нет точек экстремума.

i) Найдите координаты точки экстремума функции \( g(x) = e^{f(x)},\) определите ее тип, и найдите области возрастания и убывания функции \(g(x)\).

j) Вычислите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(h(x) = f'(x)\cdot g(x),\) осью \(x\) и прямыми \(x=-4\) и \(x=-5.\)

а) \(x\in(-\infty,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty).\)

в) \(x=2\sqrt2,\:x=-2\sqrt2 \) - вертикальные асимптоты.

с) \(f'(x)=\frac{(x+4)(x-2)}{x^2-8},\:\:=> x=-4,\:\:f(-4)=-4+ln8\:=>(-4,-4+ln8).\) В интервале \(x\in(-4,-2\sqrt2)\:\:f(x)\) убывает, в интервале \(x \in(-\infty,-4)\cup(2\sqrt2,+\infty) \:\:f(x)\) возрастает.

e) \(x\in(-\infty,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty).\) Область определения функции \(f'(x)\) совпадает с областью определения функции \(g(x)=\frac{(x+4)(x-2)}{x^2-8}\) на интервале \(x\in(-\infty,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty).\) Область определения функции \(g(x):\:\:x\neq\pm 2\sqrt2.\)

f) \(x=2\sqrt2,\:x=-2\sqrt2 \) - вертикальные асимптоты.\(y=1\) - горизонтальная асимптота.

g) \((-4,0)\)

i) \(g'(x)=f'(x)e^{f(x)}=f'(x)g(x),\:\:g(x)\neq0,\:\:f'(x)=0\:=>x=-4\:=>g(-4)=8e^{-4}=>(-4,8e^{-4}),\:\:g(x)\) возрастает на интервале \((-\infty,-4)\cup(2\sqrt2,+\infty)\) и убывает на интервале \((-4,-2\sqrt2).\)

j) \(h(x)=g'(x)\:=>S=\int_{-5}^{-4}g'(x)dx=g(-4)-g(-5)=(8e-17)/e^5.\)

4. Дана функция \(f(x) = \frac{1}{(ln(x))^3-1}+1\)

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите области убывания и возрастания функции \(f(x).\)

с) Найдите координаты точек пересечения графика функции \(f(x)\) с осями координат.

d) Найдите уравнения асимптот функции \(f(x),\) перпендикулярные осям координат.

е) Начертите график функции \(f(x).\)

f) При каких \(k\) прямая \(y = k\) (где \( k - \) параметр) не пересекает график функции \(f(x)?\)

g) Для какого из трех значений \(t=1/2,\:t=1,\:t=2\:\) значение интеграла \(\int_{e^{-1}}^t f(x)dx\) будет наибольшим?

h) Почему для любого \(e^{-1}\leq t < e\) выполняется неравенство \(\int_{e^{-1}}^t f(x)dx < 1\)?

а) \(x\in(0,e)\cup(e,+\infty).\)

в) \(f'(x)=\frac{-3ln^2x}{x(ln^3x-1)^2}\leqslant0,\:f'(x) =0\:=>x=1\:=>(1,0),\:\:f(x)\) убыват на интервале \(x\in(0,1)\cup(1,e)\cup(e,+\infty)\)

с) \((1,0).\)

d) \(x=e\) - вертикальная асимптота, \(y=1\) - горизонтальная асимптота.

f) \(k=1.\)

g) \(t=1.\)

h) \(e^{-1}\leq t < e,\:\:\int_{e^{-1}}^t f(x)dx < \int_{e^{-1}}^1 f(x)dx < 1,\) так как на интервале \(x\in(1/e,1)\:\:f(x) < 1, \) а на интервале \(x\in(1,e)\:\:f(x) < 0.\)

5. Дана функция \(f(x)\) такая, что \(f'(x)=\frac{ln(-x)+2}{x}.\) У функций \(f(x), \:f'(x),\:f''(x)\:\) одна и та же область определения.

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите области убывания и возрастания функции \(f(x).\)

с) Найдите \(f''(x)\) и области положительных и отрицательных значений \(f''(x).\)

d) Найдите уравнения асимптот функции \(f'(x),\) перпендикулярные осям координат.

е) Начертите график функции \(f'(x).\)

f) Найдите функцию \(f(x)\) если известно, что \(f(-e^{-2}) = 0\)

g) Начертите график функции \(f(x)\)

а) \(x < 0.\)

в) \(f'(x)=0\:=>x=-e^{-2}\:=>x\in(-\infty,-e^{-2})\:\: f'(x) < 0\:=>f(x)\) убывает, \(x\in(-e^{-2},0)\:\:f'(x)>0\:=>f(x) \) возрастает.

с) \(f''(x)=\frac{-1-ln(-x)}{x^2},\:\:f''(x)=0\:=>x=-1/e,\:\:x\in(-\infty,-1/e)\:\:f''(x)< 0,\:\:x\in(-1/e,0)\:\:f''(x)>0\)

d) \(x=0\) вертикальная асимптота. \(y=0\) горизонтальная асимптота.

f) \(f(x)=(1/2)ln^2(-x)+2ln(-x)+C,\:\:f(-e^{-2})=0\:=> f(x)=(1/2)ln^2(-x)+2ln(-x)+2,\:\: x=-1/e\) точка перегиба.

6. Дана функция \(f(x)=ln(x)+1/x.\)

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите координаты точки экстремума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)

с) Начертите схематический график функции \(f(x).\)

Дана функция \(g(x)=(1+x)(1-ln(x)),\) определенная в той же области, что и функция \(f(x).\)

d) Найдите координаты точек пересечения графика функции \(g(x)\) с осью \(x\).

е) Найдите области возрастания и убывания функции \(g(x).\)

f) Найдите области вогнутости и выпуклости функции \(g(x).\)

g) Начертите схематический график функции \(g(x).\)

Дана функция \(h(x)=(1/x)\cdot g'(x),\) определенная в той же области, что и функция \(g(x).\)

h) Вычислите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(h(x),\) осью \(x\) и прямыми \(x=e\) и \(x=1.\)

а) \(x >0,\)

в) \((1,1) - min,\:\:x\in(0;1) \) - убывает, \( x\in(1;\infty)\) - возрастает,

d) \((e,0),\)

e) \(g(x)\) - убывает.

f) \(x\in(0;1)\: -\:\cup,\:\: x\in(1;\infty)\:-\: \cap, \)

h) \(3/2-1/e.\)

7. Дана функция \(f(x)=4x(ln(x^2)-1).\)

а) Найдите область определения функции \(f(x).\)

в) Найдите координаты точек пересечения графика функции \(f(x)\) с осью \(x\).

с) Докажите, что функция \(f(x)\) нечетна.

d) Найдите координаты точек экстремума функции \(f(x)\) и определите их тип.

е) Имеет ли функция\(f(x)\) точки перегиба?

f) Начертите схематический график функции \(f(x).\)

Дана функция \(g(x)=1/f(x).\)

g) Найдите область определения функции \(g(x).\)

h) Начертите схематический график функции \(g(x).\)

i) В скольких точках графики функций \(f(x)\) и \(g(x)\) пересекаются?

j) Найдите первообразную для функции \(g(x).\)

а) \(x\neq 0,\)

в) \((-\sqrt e;0),\:\:(\sqrt e;0), \)

d) \((-1/\sqrt e;8/\sqrt e) - max,\:\:(1/\sqrt e;-8/\sqrt e) - min.\)

e) нет

g) \(x\neq 0,\:\:x\neq - \sqrt e,\:\:x\neq \sqrt e,\)

i) \(6,\)

j) \((1/8)\cdot ln|ln(x^2)-1|+c\)

‹ ›

БАГРУТ