2. Дана функция \(f(x) = x^2e^{a-x^3}, \: a\) - параметр. Площадь фигуры, заключенной между графиком производной функции \(f'(x)\) и осью \(x\) равна \(\sqrt[3]{\frac{4e}{9}}\)
а) Найдите \(a\).
в) Найдите область положительных значений функции \(f(x)\).
с) Найдите координаты точек экстремума и области возрастания и убывания функции \(f(x)\).
d) Начертите график функции \(f(x)\).
е) Найдите области возрастания и убывания функции \(g(x),\) если \(g'(x)=f(x)\).
f) Найдите координаты точек перегиба функции \(g(x)\).
g) Значение функции \(g(x)\) в точке перегиба равно \(\frac{e-\sqrt[3]{e}}{3}\) и оно максимально по сравнению со значениями функции \(g(x)\) в других точках перегиба. Найдите функцию \(g(x)\).
4. Дана функция \(f(x) = \frac{-4}{e^{2x}-4e^x + 3}\)
а) Найдите область определения функции \(f(x).\)
в) Найдите уравнения асимптот функции \(f(x)\), перпендикулярных осям координат.
с) Найдите координаты точек экстремума функции \(f(x)\), определите их тип.
d) Найдите области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
е) Начертите график функции \(f(x).\)
f) Докажите, что для любого \(b < 0\) выполняется неравенство \(\int_{b-3}^{b}f(x)dx < -4\)
g) Дана функция \(g(x)=\frac{k}{f(x)}\), определенная в той же области, что и \(f(x), \:k -\) параметр. Известно, что у функции \(g(x)\) есть точка минимума. Найдите область возможных значений для \(k.\)
g) \(g'(x)=-2ke^x(e^x-2)/(2) \:=>x=ln2 - min\) если \(k >0.\)
5. Дана функция \(f(x) = e^{\frac{a}{x-1}} + c,\) \(a\) и \(c\) - параметры.
а) Найдите область определения функции.
в) Найдите \(c\), если уравнение горизонтальной асимптоты \(y = 1.\)
с) Найдите \(a\) , если точка \((0,e^{-4})\) лежит на графике данной функции.
d) Найдите области положительных и отрицательных значейний функции.
е) Найдите области возрастания и убывания функции.
f) Начертите схематичный график функции, если известно, что точка \(x = -1 \: -\) единственная точка перегиба.
g) При каких значениях прямая \(y = k\) не пересекает график функции?
h) Касательная к графику функции в точке \(x = -1\) проходит через точку начала координат. Почему площадь фигуры, заключенной между графиком функции, этой касательной и осью \(y\) меньше \(\frac{1}{2} e^{-2}\) ?
а) \(x\neq1.\)
в) \(c=0.\)
с) \(a=4, \:\:f(x)=e^{4/(x-1)}.\)
d) \(f(x) >0.\)
е) \(f'(x) < 0\:\:=>\) функция убывает.
g) \(k\in(-\infty,0]\cup[1].\)
h) Площадь фигуры, заключенной между графиком функции, касательной и осью \(y\) меньше \(\frac{1}{2} e^{-2},\) так как площадь треугольника, образованного осью\(y,\) касательной и прямой \(y=e^{-2}\) равна \(\frac{1}{2} e^{-2}.\)
6. Дана функция \(f(x) = e^{\frac{a-x}{a+x}}, \: a\) - параметр. Площадь фигуры, заключенной между графиком производной функции \(f'(x),\:\) прямой \(x=-1,\;\) осью \(y\:\) и осью \(x\) равна \(e-1\)
а) Найдите \(a\).
в) Найдите уравнения асимптот функции \(f(x)\), перпендикулярных осям координат.
с) Найдите координаты точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью \(y.\)
d) Найдите области возрастания и убывания функции и начертите график функции \(f(x)\).
е) Найдите координаты точки перегиба функции \(f(x).\)
f) Найдите области возрастания и убывания функции \(f'(x).\)
g) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f'(x),\:\) прямой \(x=-1,\;\) осью \(x\) и касательной, проведенной к функции \(f'(x)\) в точке \(x=0.\)
7. Дана функция \(f(x) = \frac{x^2+2x-3}{x}e^{1/x}. \)
а) Найдите уравнение вертикальной асимптоты функции \(f(x).\)
в) Найдите координаты точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью \(x.\)
с) Найдите координаты точки максимума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
d) Найдите координаты по оси \(x\) точек перегиба функции \(f(x).\)
е) Начертите график функции \(f(x).\)
f) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f'(x),\:\) прямыми \(x=1,\;x=2\:\) и осью \(x\).
g) При каком значении параметра \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции \(f(x)\) только в 2х точках?
h) Через точку с координатами \((0,0)\) провели касательные к графику функции \(f(x).\) Найдите координаты по оси \(x\) точек касания.
a) \(\:x=0,\:\) b) \(\:(1,0),\:(-3,0),\:\)c) \(\:(-1,4/e),\: x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)-\) функция возрастает, \(x\in(-1,0)-\) функция убывает, d) \(\:x=-5+\sqrt{22},\:x=-5-\sqrt{22},\:\) f) \(\:S=(5\sqrt e)/2,\:\) g) \(\:k\in(-\infty,0]\cup\{4/e\},\:\) h) \(\:x=(2+\sqrt{13})/3,\:x=(2-\sqrt{13})/3.\)
8. Дана функция \(f(x) = e^{2x^2}\cdot\frac{1}{x-a}. \)
а) Найдите уравнения вертикальной асимптоты функции \(f(x).\)
в) Дана функция \(h(x)= e^{-2x^2}\cdot f(x).\) Касательная к графику функции \(h(x),\) пересекает оси координат в точках \((0,2),\:(2,0).\) Найдите уравнение касательной и возможные значения параметра \(a.\)
с) Значение параметра \(a\) равно наименьшему из найденных в пункте b). Найдите области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
d) Есть ли точки перегиба у функции \(f(x)?\)
е) Начертите график функции \(f(x).\)
f) Провели общую касательную к графику функции \(f(x).\) Найдите уравнение касательной и координаты точек касания.
g) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(h(x),\:\) прямыми \(y=1,\;y=2\:\) и осью \(y\).
a) \(x=a,\) b) \(y=-x+2,\:a=0,\) c) \(x\in(-\infty;-1/2)\cup(1/2;+\infty)\:f(x) - \) возрастает, \(x\in (-1/2;0)\cup(0;1/2) \:f(x) - \) убывает, d) нет, f) \(y=2ex,\:(\sqrt2/2;e\sqrt2),\:(-\sqrt2/2;-e\sqrt2),\:\) d) \(S=ln2.\)
9. Дана функция \(f(x) = e^{1/x}\cdot(x^2-2x). \)
а) Найдите уравнение вертикальной асимптоты функции \(f(x).\)
в) Найдите координаты точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью \(x.\)
с) Найдите области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
d) Начертите график функции \(f(x).\)
е) Дана функция \(\begin{cases} h(x)=f(x)/(x^4-2x^3) & x \neq 2\\h(x)=\sqrt e/4 & x =2\end{cases}.\) Найдите координаты точки максимума функции \(h(x).\)
f) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(h(x),\:\) прямыми \(x=1,\;x=2\:\) и осью \(x\).
g) При каком значении параметра \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции \(h(x)\) только в двух точках?
a) \(x=0,\) b) \((2;0)\) c) \(x\in(-\infty;0)\:f(x) -\) убывает \(x\in(0;+\infty)\:f(x)-\) возрастает, e) \((-1/2;4/e^2)\:\) f) \(S=e-\sqrt e,\:\) g) \(k=4/e^2.\)
10. Дана функция \(f(x) = e^{1/x}\cdot(x+1)^2. \)
а) Найдите уравнение вертикальной асимптоты функции \(f(x).\)
в) Найдите координаты точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью \(x.\)
с) Найдите координаты точек экстремума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
d) Начертите график функции \(f(x).\)
е) Через точку с координатами \((0,0)\) провели касательные к графику функции \(f(x).\) Найдите координаты по оси \(x\) точек касания.
f) При каком значении параметра \(k\) прямая \(y=k\) пересекает график функции \(f(x)\) только в 2х точках?
g) Дана функция \(h(x)=f(x)\cdot e^{-1/x}.\) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(h(x)\) и прямыми \(y=1\) и \(y=4.\)
a) \(x=0,\:\) b) \((-1;0),\:\) c) \((1;4e);\:(-1;0),\:(-1/2;1/(4e^2)),\:x\in (-\infty;-1)\cup(-1/2,0)\cup(0;1)\:f(x)-\) убывает, \(x\in(-1;-1/2)\cup(1;+\infty)\:f(x)-\) возрастает, e) \(x=-1,\:x=1-\sqrt2,\:x=1+\sqrt2,\:\) f) \(k=4e,\:k=1/(4e^2),\:\) g) \(S=22/3.\)
11. Дана функция \(f(x) = e^{1/(x+a)}\cdot(1/(x+a)^2),\: a- \) параметр.
а) Найдите уравнение вертикальной и горизонтальной асимптот функции \(f(x).\)
в) Максимум функции находится в точке с координатой \(x=0.\) Найдите значение параметра \(a.\)
с) Найдите координаты точки максимума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
d) Начертите график функции \(f(x).\)
е) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f(x),\:\) прямыми \(y=e,\;y=4e^2\:\) и осью \(y\).
f) Провели касательную к графику функции \(f(x)\) в точке с координатой \(x=-1/2.\) Найдите уравнение касательной.
g) Дана функция \(g(x)=(x-1/2)^2\cdot f(x).\) Найдите уравнение горизонтальной асимптоты функции \(g(x).\)
a) \(x=-a,\:y=0,\:\) b) \(a=-1/2,\:\) c) \((0;4/e^2),\:x\in(-\infty;0)\:f(x)-\) возрастает, \(x\in(0;1/2)\cup(1/2;+\infty)\:f(x)-\) убывает, e) \(S=5e^2-5e/2,\:\) f) \(y=x/e+3/2e,\:\) g) \(y=1.\)
12. Дана функция \(f(x) = e^{1/x}\cdot(1/x^2).\)
а) Найдите уравнение горизонтальной и вертикальной асимптот функции \(f(x).\)
в) Найдите координаты точки максимума и области возрастания и убывания функции \(f(x).\)
с) Начертите график функции \(f(x).\)
d) Найдите площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(f(x),\:\) прямыми \(x=1,\;x=2\:\) и осью \(x\).
е) На графике функции \(f(x)\) отметили точку \(A\) с координатой \(x=1\) и точку \(B\) с координатой \(x=2.\) Точки \(A\) и \(B\) соединили прямыми с точкой начала координат. Найдите площадь фигуры, заключенной между этими прямыми и графиком функции \(f(x).\)
f) Дана функция \(g(x)=x^3\cdot f(x).\) Найдите координаты точки минимума и области возрастания и убывания функции \(g(x).\)
